Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil
Geometria
Pol�gonos e tri�ngulos
Maria Luiza V.Scalzo
Ulysses Sodr�
Material desta p�gina
- 1 Segmentos Lineares e poligonais abertas
- 2 Pol�gono (Poligonal fechada) e Regi�o poligonal
- 3 Regi�es poligonais quanto � convexidade
- 4 Nomes dos pol�gonos
- 5 Tri�ngulos e a sua classifica��o
- 6 Medidas dos �ngulos de um tri�ngulo
- 7 Congru�ncia de Tri�ngulos
- 8 Casos de Congru�ncia de Tri�ngulos
- 9 Raz�o entre segmentos de Reta
- 10 Segmentos Proporcionais
- 11 Feixe de retas paralelas
- 12 Semelhan�a de Tri�ngulos
- 13 Casos de Semelhan�a de Tri�ngulos
- 14 Quadril�teros e a sua classifica��o
1 Segmentos Lineares e poligonais abertas
Nas figuras que seguem, apresentamos um segmento, dois segmentos consecutivos e tr�s segmentos consecutivos. Segmentos consecutivos s�o aqueles em que a extremidade final do primeiro segmento � a extremidade inicial do segundo e a extremidade final do segundo � a extremidadade inicial do terceiro e assim por diante.
Uma linha poligonal aberta � formada por segmentos de reta consecutivos e n�o colineares, ou seja, segmentos de reta que n�o est�o alinhados na mesma reta e que n�o se fecham.
2 Pol�gono (Poligonal fechada) e Regi�o poligonal
Pol�gono � uma figura geom�trica cuja palavra prov�m do grego que quer dizer: poli(muitos) + gonos(�ngulos). Um pol�gono � uma linha poligonal fechada formada por segmentos consecutivos, n�o colineares que se fecham.
A regi�o interna a um pol�gono � a regi�o plana delimitada por um pol�gono.
Muitas vezes encontramos na literatura sobre Geometria a palavra pol�gono, identificada como a regi�o localizada dentro da linha poligonal fechada mas deve ficar claro que pol�gono representa apenas a linha. Quando n�o h� perigo na informa��o sobre o que se pretende obter, usa-se a palavra em um sentido ou em outro.
Considerando a figura anexada, observamos que:
- Os segmentos AB, BC, CD, DE e EA s�o os lados do pol�gono e da regi�o poligonal.
- Os pontos A, B, C, D e E s�o os v�rtices da regi�o poligonal e do pol�gono.
- Os �ngulos da linha poligonal, da regi�o poligonal fechada e do pol�gono s�o: A, B, C, D e E.
3 Regi�es poligonais quanto � convexidade
Regi�o poligonal convexa: � uma regi�o poligonal que n�o apresenta reentr�ncias no corpo da mesma. Isto significa que todo segmento de reta cujas extremidades est�o nesta regi�o estar� totalmente contido na regi�o poligonal.
Regi�o poligonal n�o convexa (c�ncava): � uma regi�o poligonal que apresenta reentr�ncias no corpo da mesma, o que ela possui segmentos de reta cujas extremidades est�o na regi�o poligonal mas que n�o est�o totalmente contidos na regi�o poligonal.
4 Nomes dos pol�gonos
Dependendo do n�mero de lados, um pol�gono recebe os seguintes nomes de acordo com a tabela:
\[\begin{array}{cl|cl} \text{lados} & \text{Pol�gono} & \text{lados} & \text{Pol�gono} \\ \hline 1 & \text{n�o existe} & 11 & \text{undec�gono} \\ 2 & \text{n�o existe} & 12 & \text{dodec�gono} \\ 3 & \text{tri�ngulo } & 13 & \text{tridec�gono} \\ 4 & \text{quadril�tero} & 14 & \text{tetradec�gono} \\ 5 & \text{pent�gono} & 15 & \text{pentadec�gono} \\ 6 & \text{hex�gono} & 16 & \text{hexadec�gono} \\ 7 & \text{hept�gono} & 17 & \text{heptadec�gono} \\ 8 & \text{oct�gono} & 18 & \text{octadec�gono} \\ 9 & \text{ene�gono} & 19 & \text{eneadec�gono} \\ 10 & \text{dec�gono} & 20 & \text{icos�gono} \\ \hline \end{array}\]
Pol�gono Regular: � o pol�gono que possui todos os lados congruentes (mesma medida) e todos os �ngulos internos congruentes. No desenho animado ao lado podemos observar os pol�gonos: tri�ngulo, quadrado, pent�gono, hex�gono e hept�gono.
5 Tri�ngulos e a sua classifica��o
Tri�ngulo � um pol�gono de tr�s lados. � o pol�gono que possui o menor n�mero de lados. Talvez seja o pol�gono mais importante que existe. Todo tri�ngulo possui alguns elementos e os principais s�o: v�rtices, lados, �ngulos, alturas, medianas e bissetrizes.
Apresentamos agora alguns objetos com detalhes sobre os mesmos.
- V�rtices: A, B e C.
- Lados: AB, BC e AC.
- �ngulos internos: a, b e c.
Altura: � um segmento de reta tra�ado a partir de um v�rtice de forma a encontrar o lado oposto ao v�rtice formando um �ngulo reto. BH � uma altura do tri�ngulo. Em um tri�ngulo, podemos tra�ar tr�s alturas, que se encontram em um ponto denominado ortocentro.
Mediana: � o segmento que une um v�rtice ao ponto m�dio do lado oposto. BM � uma mediana. Em um tri�ngulo, podemos tra�ar tr�s medianas, que se encontram em um ponto denominado baricentro.
Bissetriz: � a semirreta que divide um �ngulo em duas partes iguais. O �ngulo B est� dividido ao meio e neste caso �=�. Em um tri�ngulo, podemos tra�ar tr�s bissetrizes, que se encontram em um ponto denominado incentro.
�ngulo Interno: � formado por dois lados do tri�ngulo. Todo tri�ngulo possui tr�s �ngulos internos.
�ngulo Externo: � formado por um dos lados do tri�ngulo e pelo prolongamento do lado adjacente (ao lado).
Classifica��o dos tri�ngulos quanto ao n�mero de lados:
Tipo de tri�ngulo & Medidas dos lados & Figura
- Tri�ngulo equil�tero: Os lados t�m medidas iguais, isto �, \(m(AB)=m(BC)=m(CA)\)
- Tri�ngulo is�sceles: Dois lados t�m medidas iguais, isto �, \(m(AB)=m(AC)\)
- Tri�ngulo escaleno: Os lados t�m medidas diferentes.
Classifica��o dos tri�ngulos quanto �s medidas dos �ngulos
- Tri�ngulo acut�ngulo: Os �ngulos internos s�o agudos (as medidas dos �ngulos s�o menores que 90 graus)
- Tri�ngulo obtus�ngulo: Um �ngulo interno � obtuso (a medida desse �ngulo � maior que 90 graus.
- Tri�ngulo ret�ngulo: Um �ngulo interno reto (medida desse �ngulo � igual a 90 graus.
6 Medidas dos �ngulos de um tri�ngulo
�ngulos Internos: Para o tri�ngulo ABC, podemos identificar com as letras a, b e c as medidas dos �ngulos internos desse tri�ngulo. Algumas vezes escrevemos as letras mai�sculas A, B e C para representar os �ngulos.
A soma dos �ngulos internos de qualquer tri�ngulo � sempre igual a 180 graus, isto �:
\[a+b+c=180 \text{ graus}\]
Exemplo: Usando o tri�ngulo abaixo, podemos escrever: \(70+60+x=180\) graus e obter \(x=180-70-60=50\) graus.
�ngulos Externos: Como observamos no desenho do tri�ngulo ABC, em anexo, as letras min�sculas representam os �ngulos internos e as respectivas letras mai�sculas os �ngulos externos.
Todo �ngulo externo de um tri�ngulo � igual � soma dos dois �ngulos internos n�o adjacentes a esse �ngulo externo. Assim:
\[A=b+c, \qquad B=a+c, \qquad C=a+b\]
Exemplo: No tri�ngulo da figura seguinte
o �ngulo \(x\) � dado por: \(x=50+80=130\) graus.
7 Congru�ncia de Tri�ngulos
A ideia de congru�ncia: Duas figuras planas s�o congruentes quando t�m a mesma forma e as mesmas dimens�es, isto �, o mesmo tamanho.
Para indicar que dois tri�ngulos ABC e DEF s�o congruentes, usamos a nota��o:
\[ABC \cong DEF\]
Para os tri�ngulos das figuras abaixo:
existe a congru�ncia entre os lados, tal que:
\[AB \cong RS, \qquad BC \cong ST, \qquad CA \cong TR\]
e a congru�ncia entre os �ngulos:
\[A \cong R, \qquad B \cong S, \qquad C \cong T\]
Se o tri�ngulo \(ABC\) � congruente ao tri�ngulo \(RST\), escrevemos:
\[ABC \cong RST\]
Dois tri�ngulos s�o congruentes, se os seus elementos correspondentes s�o ordenadamente congruentes, isto �, os tr�s lados e os tr�s �ngulos de cada tri�ngulo t�m respectivamente as mesmas medidas.
Para verificar se um tri�ngulo � congruente a outro, n�o � necess�rio saber a medida de todos os seis elementos, basta conhecer tr�s elementos, entre os quais esteja pelo menos um lado. Para facilitar o estudo, indicaremos os lados correspondentes congruentes marcados com s�mbolos gr�ficos iguais.
8 Casos de Congru�ncia de Tri�ngulos
- \(LLL\) (Lado, Lado, Lado): Os tr�s lados s�o conhecidos.
Dois tri�ngulos s�o congruentes quando t�m, respectivamente, os tr�s lados congruentes. Os elementos congruentes t�m a mesma marca. - \(LAL\) (Lado, �ngulo, Lado): Dados dois lados e um �ngulo
Dois tri�ngulos s�o congruentes quando t�m dois lados congruentes e os �ngulos formados por eles tamb�m s�o congruentes. - \(ALA\) (�ngulo, Lado, �ngulo): Dados dois �ngulos e um lado
Dois tri�ngulos s�o congruentes quando t�m um lado e dois �ngulos adjacentes a esse lado, respectivamente, congruentes. - \(LAAo\) (Lado, �ngulo, �ngulo oposto): Conhecido um lado, um �ngulo e um �ngulo oposto ao lado.
Dois tri�ngulos s�o congruentes quando t�m um lado, um �ngulo, um �ngulo adjacente e um �ngulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.
9 Raz�o entre segmentos de Reta
Segmento de reta � o conjunto de todos os pontos de uma reta localizados entre dois pontos que s�o as extremidades do segmento, sendo um deles o ponto inicial e o outro o ponto final. Denotamos um segmento por duas letras como \(AB\), onde \(A\) o in�cio e \(B\) o final do segmento.
Exemplo: \(AB\) � um segmento de reta.
\[A \underline{\qquad\qquad} B\]
N�o � poss�vel dividir um segmento de reta por outro, mas � poss�vel realizar a divis�o entre as medidas desses segmentos.
Sejam os segmentos \(AB\) e \(CD\), indicados:
\[A \underline{\qquad\qquad} B \tag{$m(AB)=3$ cm} \]
\[C \underline{\qquad\qquad\qquad} D \tag{$m(CD)=5$ cm} \]
A raz�o entre os segmentos AB e CD, denotada por \(AB/CD\) ou por \(\frac{AB}{CD}\), � definida como a raz�o entre as medidas desse segmentos , isto �:
\[\frac{AB}{CD} = \frac35\]
10 Segmentos Proporcionais
Propor��o � a igualdade entre duas raz�es equivalentes. De forma semelhante ao estudo com n�meros racionais, � poss�vel estabelecer a proporcionalidade entre segmentos de reta, atrav�s das medidas desse segmentos.
Consideremos um caso particular com quatro segmentos de reta:
\[\begin{matrix} A \underline{\qquad} B & P \underline{\qquad\qquad} Q \\ C \underline{\quad\qquad} D & R \underline{\qquad\qquad\qquad} S \end{matrix}\]
onde \(m(AB)=2\;\text{cm}\), \(m(PQ)=4\;\text{cm}\), \(m(CD)=3\;\text{cm}\) e \(m(RS)=6\;\text{cm}\).
A raz�o entre os segmentos \(AB\) e \(CD\) e a raz�o entre os segmentos \(PQ\) e \(RS\), s�o duas fra��es equivalentes, isto �:
\[\frac{AB}{CD} = \frac23 = \frac46 = \frac{PQ}{RS}\]
que nos leva � defini��o de segmentos proporcionais.
Quatro segmentos de reta: AB, BC, CD e DE, nesta ordem, s�o proporcionais se:
\[\frac{AB}{BC} = \frac{CD}{DE}\]
Os segmentos \(AB\) e \(DE\) s�o os segmentos extremos e os segmentos
\(BC\) e \(CD\) s�o os segmentos meios.
A proporcionalidade acima � garantida pelo fato que existe uma propor��o entre os n�meros reais que s�o as medidas dos segmentos:
\[\frac{m(AB)}{m(BC)} = \frac{m(CD)}{m(DE)}\]
Propriedade Fundamental das propor��es: Em uma propor��o de segmentos, o produto das medidas dos segmentos meios � igual ao produto das medidas dos segmentos extremos.
\[m(AB){\times}m(DE) = m(BC){\times}m(CD)\]
11 Feixe de retas paralelas
Um conjunto de tr�s ou mais retas paralelas num plano � chamado feixe de retas paralelas. A reta que intercepta as retas do feixe � a reta transversal ao feixe. Aqui, vamos usar letras mai�sculas para retas. As retas A, B, C e D, que aparecem no desenho anexado, formam um feixe de retas paralelas enquanto que as retas S e T s�o retas transversais.
Teorema de Tales: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. A figura ao lado representa uma situa��o onde aparece um feixe de tr�s retas paralelas cortado por duas retas transversais.
Na sequ�ncia, identificamos algumas propor��es:
\[\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF},\quad \frac{BC}{AB}=\frac{EF}{DE},\quad \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF},\quad \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}\]
Exemplo: Seja a figura seguinte com um feixe de retas paralelas, sendo as medidas dos segmentos indicadas em cent�metros.
Assim:
\[\frac{BC}{AB}=\frac{EF}{DE}, \quad \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}, \quad \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}\]
Notamos que uma propor��o pode ser formulada de v�rias maneiras. Se um dos segmentos do feixe de paralelas for desconhecido, a sua dimens�o pode ser determinada com o uso de raz�es proporcionais.
12 Semelhan�a de Tri�ngulos
Conceito de semelhan�a: Duas figuras s�o semelhantes quando possuem a mesma forma, mas nem sempre o mesmo tamanho.
Se duas figuras R e S s�o semelhantes, denotamos tal semelhan�a por \(R \cong S\).
Exemplo: As amplia��es e redu��es fotogr�ficas s�o figuras semelhantes. Para os tri�ngulos:
os tr�s �ngulos s�o respectivamente congruentes, isto �:
\[A \cong R, B \cong S, C \cong T\]
Os dois tri�ngulos semelhantes da figura anterior, possuem lados proporcionais e �ngulos congruentes. Se um lado do primeiro tri�ngulo � proporcional a um lado do outro tri�ngulo, ent�o estes dois lados s�o ditos hom�logos. Desse modo, todos os lados proporcionais s�o hom�logos. Realmente:
\[\begin{align} AB \cong RS & \quad \text{pois} \quad \frac{m(AB)}{m(RS)}=2 \\ BC \cong ST & \quad \text{pois} \quad \frac{m(BC)}{m(ST)}=2 \\ AC \cong RT & \quad \text{pois} \quad \frac{m(AC)}{m(RT)}=2 \end{align}\]
Como as raz�es acima s�o todas iguais a 2, este valor comum � denominado raz�o de semelhan�a entre os tri�ngulos. Conclu�mos que o tri�ngulo ABC � semelhante ao tri�ngulo RST.
Dois tri�ngulos s�o semelhantes se possuem os tr�s �ngulos e os tr�s lados correspondentes proporcionais, mas existem alguns casos interessantes a analisar.
13 Casos de Semelhan�a de Tri�ngulos
Dois �ngulos congruentes: Se dois tri�ngulos possuem dois �ngulos correspondentes congruentes, ent�o os tri�ngulos s�o semelhantes.
Se \(A \cong D\) e \(C \cong F\) ent�o:
\[ABC \cong DEF\]
Dois lados proporcionais:Se dois tri�ngulos possuem dois lados proporcionais e os �ngulos formados por esses lados s�o congruentes, ent�o os tri�ngulos s�o semelhantes.
Como
\[\frac{m(AB)}{m(EF)} = \frac{m(BC)}{m(FG)} = 2\]
ent�o
\[ABC \cong EFG\]
Exemplo: Na figura seguinte, um tri�ngulo pode ser rodado sobre o outro para gerar dois tri�ngulos semelhantes e o valor de \(x\) ser� igual a \(8\).
Realmente, \(x\) pode ser obtido pela semelhan�a dos tri�ngulos. Vamos identificar os lados hom�logos e com eles vamos construir a propor��o:
\[\frac3{6} = \frac4{x}\]
Tr�s lados proporcionais: Se dois tri�ngulos t�m os tr�s lados correspondentes proporcionais, ent�o os tri�ngulos s�o semelhantes.
14 Quadril�teros e a sua classifica��o
Quadril�tero � um pol�gono com quatro lados. Os principais quadril�teros s�o: quadrado, ret�ngulo, losango, trap�zio e trapez�ide.
No quadril�tero anterior, observamos alguns elementos geom�tricos:
- Os v�rtices s�o os pontos: A, B, C e D.
- Os �ngulos internos s�o A, B, C e D.
- Os lados s�o os segmentos AB, BC, CD e DA.
Nota: Unindo os v�rtices opostos de um quadril�tero qualquer, obtemos sempre dois tri�ngulos e como a soma das medidas dos �ngulos internos de um tri�ngulo � \(180\) graus, conclu�mos que a soma dos �ngulos internos de um quadril�tero � igual a \(360\) graus.
Exerc�cio: Determinar a medida do �ngulo \(x\) na gravura seguinte.
Paralelogramo: � o quadril�tero que possui lados opostos paralelos. Em um paralelogramo, os �ngulos opostos s�o congruentes. Os paralelogramos mais importantes recebem nomes especiais:
- Losango: Quatro lados congruentes
- Ret�ngulo: Quatro �ngulos retos (90 graus)
- Quadrado: Quatro lados congruentes e quatrp �ngulos retos.
Trap�zio: � um quadril�tero que possui dois lados opostos paralelos. Alguns elementos gr�ficos de um trap�zio (semelhante aos dos circos).
- AB � paralelo a CD.
- BC � n�o � paralelo a AD.
- AB � a base maior.
- DC � a base menor.
Trap�zios recebem nomes de acordo com os tri�ngulos que t�m caracter�sticas semelhantes. Um trap�zio pode ser:
- Ret�ngulo: dois �ngulos retos
- Is�sceles: lados n�o paralelos congruentes
- Escaleno: lados n�o paralelos diferentes
Exerc�cio: Prolongar as retas apoiadas nos lados opostos n�o paralelos dos trap�zios da figura acima para obter, respectivamente, um tri�ngulo ret�ngulo, um is�sceles e um escaleno. Observar mais acima nesta mesma p�gina os nomes dos tri�ngulos obtidos e os nomes destes trap�zios!