Quando classificamos a sequência quanto à quantidade de termos, a sequência pode ser finita ou infinita. Quando classificamos a sequência quanto ao comportamento dos termos, essa sequência pode ser crescente, decrescente, oscilante ou constante. Existem casos especiais de sequências que são conhecidos como progressões aritméticas e progressões geométricas.
Leia também: Como calcular a soma dos termos de uma progressão aritmética?
Tópicos deste artigo
Resumo sobre sequência numérica
A sequência numérica nada mais é do que uma sequência de números.
Alguns exemplos de sequência numérica:
sequência de números pares (0,2,4,6,8…);
sequência dos naturais menores que 6 (1, 2, 3, 4, 5);
sequência de números primos (2,3,5,7,11,…).
A lei de formação de uma progressão é a regra que rege essa sequência.
Uma sequência pode ser finita ou infinita.
Finita: quando possui uma quantidade limitada de termos.
Infinita: quando possui uma quantidade ilimitada de termos.
Uma sequência pode ser crescente, descrente, constante ou oscilante.
Crescente: quando o termo é sempre menor que seu sucessor.
Decrescente: quando o termo é sempre maior que seu sucessor.
Constante: quando o termo é sempre igual ao seu sucessor.
Oscilante: quando há termos maiores e menores que o seu sucessor.
Existem casos especiais de sequência conhecidos como progressão aritmética ou progressão geométrica.
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Lei de ocorrência de sequência numérica
Conhecemos como sequência numérica qualquer sequência formada por números. Geralmente demonstramos as sequências fazendo uma lista dos seus termos, entre parênteses e separados por vírgula. Essa lista é conhecida como lei de ocorrência de uma sequência numérica.
(a1, a2, a3, … , an)
a1 → 1º termo da sequência
a2 → 2º termo da sequência
a3 → 3º termo da sequência
an → n-ésimo termo da sequência
Vejamos alguns exemplos a seguir.
Exemplo 1:
Lei de ocorrência da sequência dos números múltiplos de 5:
(0, 5, 10, 15, 20, 25, …)
Exemplo 2:
Lei de ocorrência da sequência dos números primos:
(2,3,5,7,11,13,17,19,23 … )
Exemplo 3:
Lei de ocorrência dos inteiros negativos:
( – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7...)
Exemplo 4:
Sequência dos números ímpares menores que 10:
(1, 3, 5, 7, 9)
Leia também: Quais são as propriedades dos números pares e ímpares?
Classificação da sequência numérica
Existem duas maneiras distintas de classificar uma sequência. A primeira delas é quanto à quantidade de termos, forma pela qual uma sequência pode ser finita ou infinita. A outra maneira de classificar as sequências é quanto ao seu comportamento. Nesse caso, elas são classificadas como crescentes, decrescentes, constantes ou oscilantes.
Classificação quanto à quantidade de termos
→ Sequência numérica finita
A sequência é finita quando ela possui uma quantidade limitada de termos.
Exemplos:
(1, 2, 3, 4, 5)
(– 16, – 8, – 4, – 2, – 1)
→ Sequência numérica infinita
A sequência é infinita quando ela possui uma quantidade ilimitada de termos.
Exemplos:
(10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 … )
(– 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, – 23 … )
Classificação quanto ao comportamento
→ Sequência numérica crescente
Uma sequência é crescente quando um termo qualquer é sempre menor que o seu sucessor na sequência.
Exemplos:
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … )
( – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7)
→ Sequência numérica decrescente
Uma sequência é decrescente quando um termo qualquer é sempre maior que o seu sucessor na sequência.
Exemplos:
(10, 7, 4, 1, – 2, – 5, – 8 … )
(4, – 8, – 16, – 32, – 64 )
→ Sequência numérica constante
Uma sequência é constante quando todos os termos da sequência são iguais:
Exemplos:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,)
( – 4, – 4, – 4, – 4 … )
→ Sequência numérica oscilante
Uma sequência é oscilante quando há termos que são maiores e termos que são menores que os seus respectivos sucessores na sequência:
Exemplos:
(1,-2,4,-8,16,-32,64...)
(1, – 1, 1, – 1, 1 , – 1)
Lei de formação da sequência numérica
Algumas sequências podem ser descritas por uma fórmula que gera os seus termos. Essa fórmula é conhecida como lei de formação. Utilizamos a lei de formação para encontrar qualquer termo na sequência quando conhecemos o comportamento dela.
Exemplo 1:
A sequência a seguir é formada por quadrados perfeitos:
(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, … )
Podemos descrever essa sequência pela lei de formação:
an = (n – 1)²
n → número do termo
an → o termo de posição n
Com essa fórmula, é possível saber, por exemplo, o termo que ocupa a posição número 10 na sequência:
a10 = ( 10 – 1) ²
a10 = 9²
a10 = 81
Exemplo 2:
Liste os termos da sequência cuja lei de formação é an = 2n – 5.
Para listar, encontraremos os primeiros termos da sequência:
1º termo:
an = 2n – 5
a1 = 2·1 – 5
a1 = 2 – 5
a1 = – 3
2º termo:
an = 2n – 5
a2 = 2·2 – 5
a2 = 4 – 5
a2 = – 1
3º termo:
an = 2n – 5
a3 = 2·3 – 5
a3 = 6 – 5
a3 = 1
4º termo:
an = 2n – 5
a4 = 2·4 – 5
a4 = 8 – 5
a4 = 3
5º termo:
a5 = 2n – 5
a5 = 2·5 – 5
a5 = 10 – 5
a5 = 5
Então a sequência é:
(– 1, 1, 3, 5 … )
Veja também: Números romanos — sistema numérico que utiliza letras para representar valores e quantidades
Progressão aritmética e progressão geométrica
Existem casos especiais de sequências que são conhecidos como progressão aritmética e progressão geométrica. Uma sequência é uma progressão quando existe uma razão de um termo para o seu sucessor.
Progressão aritmética
Quando conhecemos o primeiro termo da sequência e, para encontrar o segundo, somamos o primeiro a um valor r e, para encontrar o terceiro termo, somamos o segundo a esse mesmo valor r, e assim sucessivamente, a sequência é classificada como uma progressão aritmética.
Exemplo:
(1, 5, 9, 13, 17, 21, …)
Essa é uma progressão aritmética de razão igual a 4 e primeiro termo igual a 1.
Note que, para encontrar o sucessor de um número na sequência, basta somar 4, por isso dizemos que 4 é a razão dessa progressão aritmética.
Progressão geométrica
Na progressão geométrica, também existe uma razão, mas, nesse caso, para encontrar o sucessor de um termo, devemos multiplicar o termo pela razão.
Exemplo:
(2, 6, 18, 54, 162, … )
Essa é uma progressão geométrica de razão igual a 3 e primeiro termo igual a 2.
Note que, para encontrar o sucessor de um número nessa sequência, basta multiplicar por 3, o que faz com que a razão dessa progressão geométrica seja 3.
Exercícios resolvidos sobre sequência numérica
Questão 1 - Analisando a sequência (1, 4, 9, 16, 25, … ), podemos afirmar que os dois próximos números serão:
A) 35 e 46.
B) 36 e 49.
C) 30 e 41.
D) 41 e 66.
Resolução
Alternativa B.
Para encontrar os termos da sequência, é importante encontrar uma regularidade na sequência, ou seja, entender a sua lei de ocorrência. Note que, do primeiro termo para o segundo termo, somamos 3; do segundo para o terceiro termo, somamos 5; do terceiro para o quarto termo e do quarto para o quinto termo, somamos, respectivamente, 7 e 9, logo a soma aumenta duas unidades a cada termo da sequência, ou seja, no próximo, somaremos 11, depois 13, depois 15, depois 17 e assim sucessivamente. Para encontrar o sucessor do 25, somaremos 11.
25 + 11 = 36.
Para encontrar o sucessor de 36, somaremos 13.
36 + 13 = 49
Então os próximos termos serão 36 e 49.
Questão 2 - (Instituto AOCP) A seguir, é apresentada uma sequência numérica, tal que os elementos dessa sequência foram dispostos obedecendo a uma lei (lógica) de formação, em que x e y são números inteiros: (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y). Observando essa sequência e encontrando os valores de x e de y, seguindo a lei de formação da sequência dada, é correto afirmar que
A) x é um número maior que 30.
B) y é um número menor que 5.
C) a soma de x com y resulta em 25.
D) o produto de x por y resulta em 106.
E) a diferença entre y e x, nessa ordem, é um número positivo.
Resolução
Alternativa C.
Queremos encontrar o 7º e 8º termo dessa sequência.
Analisando a lei de ocorrência da sequência (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y), é possível perceber que existe uma lógica para os termos ímpares (1º termo, 3º termo, 5º termo … ). Note que o 3º termo é igual ao 1º termo menos 2, pois 24 – 2 = 22. Usando essa mesma lógica, o 7º termo, representado por x, será o 5º termo menos 2, ou seja, x = 20 – 2 = 18.
Existe lógica parecida para os termos pares (2º termo, 4º termo, 6º termo … ): o 4º termo é o 2º termo menos 2, pois 13 – 2 = 11, e assim sucessivamente. Queremos o 8º termo, representado por y, que será o 6º termo menos 2, então y = 9 – 2 = 7.
Logo, temos x = 18 e y = 7. Analisando as alternativas, temos que x + y = 25, ou seja, a soma de x com y resulta em 25.