Qual é o número de anagramas da palavra BRASIL em que as vogais ficam lado a lado e as consoantes também?

Permutação simples

A permutação simples é como um caso especial de arranjo, no qual todos os elementos do conjunto são utilizados. Nesse caso, os elementos vão formar grupos que se diferenciarão apenas pela ordem.

Em linguagem matemática: 
Dado um conjunto qualquer com n elementos, chama-se permutação simples dos n elementos dados a qualquer arranjo simples agrupados n a n, ou seja:
P$$$_n$$$ = n! ou P$$$_n$$$ = A$$$^n_n$$$

Um exemplo é o anagrama com a palavra BOCA. Anagrama é um jogo de palavras. Reordenando as letras, podemos escrever 24 palavras diferentes (ainda que sem sentido), com a palavra BOCA, entre elas BCOA, BCAO, CABO, COBA...

P$$$_4$$$ = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Elementos repetidos

Quando há elementos repetidos, o número de permutações é calculado de outra forma.
Se numa permutação de n elementos existem elementos que apareçam α vezes, β vezes, então o total de permutações possíveis será:
P$$$^{α, β...}_n$$$ = $$$n! \over α! β! ...$$$ 

Por exemplo, de quantos modos é possível formar um anagrama da palavra COLEGIO?

Você deve ter percebido que nesse caso, um elemento da sequência está aparecendo mais de uma vez. Podemos então observar que existem 2 letras O’s na palavra. Se as letras fossem distintas, como em CO$$$_1$$$LEGIO$$$_2$$$, teríamos 7! anagramas.

Como não são, anagramas como O$$$_1$$$O$$$_2$$$CLEGI e O$$$_2$$$O$$$_1$$$CLEGI, por exemplo, representam a mesma situação. Ou seja, quando contamos 7!, cada situação foi contada duas vezes, de modo que a resposta é
P$$$^2_7$$$ = $$$7! \over 2!$$$ = $$$7 x 6 x 5 x 4 x 3 x2! \over 2!$$$ = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 = 2520.

Exercícios

(UERJ 2015) Uma criança ganhou seis picolés de três sabores diferentes: baunilha, morango e chocolate, representados, respectivamente, pelas letras B, M e C. De segunda a sábado, a criança consome um único picolé por dia, formando uma sequência de consumo dos sabores. Observe estas sequências, que correspondem a diferentes modos de consumo:
(B, B, M, C, M, C) ou (B, M, M, C, B, C) ou (C, M, M, B, B, C)

O número total de modos distintos de consumir os picolés equivale a: 
a) 6   
b) 90   
c) 180   
d) 720

Gabarito
Letra B.
Sabendo que a criança ganhou dois picolés de cada sabor, tem-se que o resultado pedido é dado por:
P$$$^{(2, 2, 2)}_6$$$ = $$$6! \over 2! 2! 2!$$$ = $$$6 x 5 x 4 x 3 x 2! \over 2 x 1 x 2 x 1 x 2!$$$ = $$$6 x 5 x 4 x 3 \over 4$$$ = 90.

(Mackenzie) Cinco casais resolvem ir ao teatro e compram os ingressos para ocuparem todas as 10 poltronas de uma determinada fileira. O número de maneiras que essas 10 pessoas podem se acomodar nas 10 poltronas, se um dos casais brigou, e eles não podem se sentar lado a lado é 
a) 9 (9!)
b) 8 (9!)
c) 8 (8!)
d) $$$10! \over 2$$$
e) $$$10! \over 4$$$ 

Gabarito
Letra B. As 10 pessoas podem se sentar de P$$$_{10}$$$ = 10! maneiras. Por outro lado, o casal que está brigado pode se sentar lado a lado de P$$$_9$$$ $$$\cdot$$$P$$$_2$$$ = 2 x 9 modos. Em consequência, o resultado pedido é 10! - 2 x 9! = 10 x 9! - 2 x 9! = 8 (9!).

(PUC-RS) O número de anagramas da palavra BRASIL em que as vogais ficam lado a lado, e as consoantes também, é 
a) 24   
b) 48   
c) 96   
d) 240   
e) 720   

Gabarito
Letra C. Considerando dois grupos, o das vogais com dois elementos e o das consoantes com 4 elementos, temos três permutações, a permutação dos grupos e as permutações dos elementos em cada grupo. Portanto, o número de anagramas da palavra BRASIL em que as vogais ficam lado a lado e as consoantes também será dado por:
2! 4! 2! = 96.

(Unioeste 2012) Quantas palavras podemos formar, independente se tenham sentido ou não, com as 9 letras da palavra BORBOLETA? 
a) 81 440.   
b) 90 720.   
c) 362 880.   
d) 358 140.   
e) 181 440.

Gabarito
Letra B. Pelo enunciado da questões podemos escrever:
P$$$^{(2, 2)}_9$$$ = $$$9! \over 2! 2!$$$ = $$$9 x 8 x 7! \over 4$$$ = 18 x 5040 = 90720.

(UEMG) Observe a tirinha de quadrinhos, a seguir:

Quadrinho da Turma da Mônica (Foto: Reprodução)

A Mônica desafia seus amigos, numa brincadeira de “cabo de guerra”. 

Supondo que a posição da Mônica pode ser substituída por qualquer um de seus amigos, e que ela pode ocupar o outro lado, junto com os demais, mantendo-se em qualquer posição, o número de maneiras distintas que podem ocorrer nessa brincadeira será igual a 
a) 60.   
b) 150.   
c) 600.   
d) 120.   

Gabarito
Letra D. Cinco crianças para cinco posições, logo teremos:
P$$$_5$$$ = 5! = 120.