5
Ângulo externo em polígonos regulares
Como visto anteriormente, em qualquer polígono convexo, a soma dos ângulos externos é $360^{\circ}$.
Um polígono de $n$ lados possui $n$ ângulos externos; se ele for regular, todos estes ângulos possuem a mesma medida. Portanto, o ângulo externo em um polígono regular pode ser calculado como:
$$a_e = \dfrac{360^{\circ}}{n}$$
É uma relação direta e rápida, que facilita o resolvimento de muitos exercícios.
5.1
Exemplo: ângulos externos de um octógono regular
Um octógono regular possui $8$ lados; o seu ângulo externo será:
\begin{align}
a_e &= \dfrac{360}{n} \\
a_e &= \dfrac{360}{8} \\
a_e &= 45^{\circ}
\end{align}
5.2
Exemplo: determinar o número de lados
Um polígono regular possui ângulos externos que medem $20^{\circ}$. Iremos identificar que polígono é este.
Como o polígono é regular, podemos usar a seguinte fórmula
$$a_e = \dfrac{360}{n},$$
substituindo $a_e = 20$:
\begin{align}
20 &= \dfrac{360}{n} \\
20 n &= 360 \\
n &= \dfrac{360}{20} \\
n & = 18
\end{align}
Este polígono possui $18$ lados, é o decaoctógono.
Obs.: determinar o número de lados através do ângulo externo é muito mais rápido; compare com as contas que fizemos para determinar o número de lados usando o ângulo interno.
5.3
Ângulo interno e ângulo externo de polígonos regulares
Num polígono regular, um ângulo interno é o dobro do ângulo externo. Quantos lados tem esse polígono?
Primeiro, usando a fórmula da Soma dos ângulos internos de um polígono:
\begin{align}
S_{i} &= (n – 2) \cdot 180^{o}
\end{align}
Podemos escrever que
\begin{align}
a_{i} &= \large \frac {S_{i}}{n}
\end{align}
E ainda, usando a fórmula da Soma dos ângulos externos de um polígono:
\begin{align}
S_{e} &= 360^{o}
\end{align}
Podemos escrever que
\begin{align}
a_{e} &= \large \frac {S_{e}}{n}
\end{align}
Agora, dado que $a_{i} = 2 \cdot a_{e}$,
\begin{align}
\large \frac
{S_{i}}{n} &= 2 \cdot \large \frac {S_{e}}{n} \\ \\
\large \frac {(n – 2) \cdot 180^{o}}{n} &= 2 \cdot \large \frac{360^{o}}{n} \\ \\
180n – 360 &= 720 \\ \\
n&=6
\end{align}
Logo, o polígono é um hexágono.
Entre os elementos de um polígono, estão os lados, vértices, ângulos internos e ângulos externos. Quando o polígono é convexo, também podemos pensar nas suas diagonais e criar propriedades como a soma de seus ângulos internos e a soma de seus ângulos externos. Essa última propriedade deve sempre ser igual a 360°, em todo polígono convexo. Isso é resultado da definição dos ângulos externos, aliada a algumas propriedades envolvendo ângulos que serão discutidas mais adiante.
A soma dos ângulos internos varia de polígono a polígono, dependendo de seu número de lados. Assim, desde que convexos, os polígonos:
a) Que possuem três lados têm soma dos ângulos internos igual a 180°;
b) Que possuem quatro lados têm a soma dos ângulos internos igual a 360°;
c) Que possuem n lados têm a soma dos ângulos internos igual a (n – 2)180.
Definição de ângulo externo
Um ângulo externo é a abertura entre o prolongamento de um lado de um polígono e o lado adjacente a ele. Observe, por exemplo, os ângulos externos da figura a seguir:
Os ângulos assinalados com as letras gregas α, β, γ, δ e ε são externos, pois representam justamente a abertura entre um lado do polígono e o prolongamento do lado adjacente a ele.
Propriedades relacionando ângulos externos e ângulos internos
Perceba que sempre existe um ângulo interno que compartilha um lado de um polígono com um ângulo externo. Observe também que esses dois ângulos estão sempre sobre a mesma reta, já que o ângulo externo depende do prolongamento do lado do polígono. Dessa forma, garantimos que a soma de um ângulo interno com o ângulo externo adjacente a ele é igual a 180°. Em outras palavras:
Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)
Um ângulo interno e o ângulo externo adjacente a ele sempre são suplementares.
No pentágono regular acima, temos um ângulo interno e um externo. Como o pentágono é regular, cada um de seus ângulos internos mede 108°. Assim sendo, cada um de seus ângulos externos medirá 72°.
Observe que existem exatos cinco ângulos externos nesse polígono, e que todos medem 72° porque o polígono é regular.
5·72 = 360°
Demonstração
Independentemente de qual seja o polígono convexo e sua quantidade de lados, ou do fato de todos os lados possuírem medidas diferentes, cada ângulo interno (Si), somado ao seu ângulo externo adjacente (Ai), deve ter como resultado 180°:
Si + Ai = 180°
Seja S a soma de todos os ângulos internos e A a soma de todos os ângulos externos, em um polígono de n lados, temos também n ângulos internos e n ângulos externos. Assim:
S + A = 180·n
A soma dos ângulos internos nós já conhecemos, pois ela é obtida pela expressão: S = (n – 2)180. Substituindo S por essa expressão na equação anterior, temos:
S + A = 180n
(n – 2)180 + A = 180n
180n – 360 + A = 180n
Como queremos descobrir a soma dos ângulos externos de um polígono, isolaremos a incógnita A no primeiro membro:
180n – 360 + A = 180n
A = 180n + 360 – 180n
A = 360°
Portanto, fica demonstrado que a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°.