Qual o menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos?

O problema do rel�gio
Resolu��o simplificada de um problema angular

Antonio Leonardo P. Pastor

S�o Paulo, SP Um resultado interessante que os alunos usam, e nem sempre sabem justificar, � o seguinte:

Consideremos, por exemplo, o problema: Calcular o �ngulo formado pelos ponteiros de um rel�gio que marca 5 h 43 mim.

� usual resolvermos assim: Seja o �ngulo que o ponteiro das horas descreveu desde as 5 horas at� 5 h 43 min. Ora, o mostrador do rel�gio � dividido em 12 partes iguais de 30� cada. Cada setor de 30� corresponde a 5 minutos e portanto cada minuto corresponde a 6o. Assim, o �ngulo a + pode ser determinado por contagem direta, e � igual a   18 . 6 =  108�.

� f�cil verificar que o �ngulo 0 � diretamente proporcional ao n�mero m de minutos transcorridos, isto �,

= km (v. RPM 8, p., 3, Defini��o 1). Ora, sabemos que em uma hora o �ngulo descrito pelo' ponteiro menor � igual a 30�. Ent�o:

Em geral, tomando inicialmente a medida do �ngulo que vai da marca da hora em quest�o at� a marca do minuto correspondente, devemos somar ou subtrair o �ngulo

(�ngulo que o ponteiro das horas descreve durante os minutos correspondentes), dependendo do �ngulo que o problema pede (maior ou menor), da configura��o dos ponteiros e de como efetuamos a medi��o (orienta��o). Em resumo, a resolu��o de problemas simples como o do exemplo se reduz � determina��o de  .

N�o quero aqui defender o uso de regras (pelo contr�rio!). Gostaria apenas de observar que a apresenta��o de uma regra simplificadora, que neste caso nada mais � do que uma conseq��ncia das propor��es envolvidas, pode ser v�lida se o professor utiliz�-la com o objetivo de motivar sua aula.

O leitor interessado encontrar� outros problemas sobre raz�es e propor��es, abordados sob um enfoque bastante atual, nos artigos do Professor Geraldo �vila (RPM 8 e 9) e considera��es adicionais no artigo do Professor Elon Lages Lima (RPM 9).

Como calcular valores aproximados de

Milton de Paula Garcia Ourinhos, SP

� comum, no 1� grau, principalmente na 8� s�rie, quando estudamos a �rea do c�rculo, perguntas como: � Professor, por que

vale 3,14?

Ap�s o estudo dos pol�gonos regulares, na 8? s�rie, podemos, at� como recrea��o, calcular valores aproximados de

, sem grande trabalho, como veremos abaixo:

-.cja um pol�gono regular de  n  lados,   n

3,   cada lado medindo a.

Pelo Teorema dos Cossenos, temos:

 

Observe que

n�o depende do raio de circunfer�ncia, j� que r � eliminado na express�o acima.

Usando esta express�o, vamos calcular alguns valores aproximados de

.
 

Observa��o. O fato de precisar usar uma calculadora para obter valores aproximados de

n�o tira o objetivo deste artigo, que � mostrar que

� aproximadamente 3,14 e n�o depende do "tamanho" do c�rculo.

Milton de Paula Garcia � professor de Matem�tica na Escola Estadual de Primeiro Grau "Professora Esmeralda Soares Ferraz", na cidade de Ourinhos, SP.

 

Qual e o menor ângulo dos ponteiros das horas e dos minutos?

Qual o menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio que marca 13h 15 min?

Qual e o menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio?

Qual o menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio às 8 h 20 min?