A relação de Euler é uma fórmula matemática que relaciona os números de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo. Essa relação é dada pela seguinte expressão:
V – A + F = 2
Onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces do poliedro.
Essa relação é válida para todo poliedro convexo, mas existem alguns poliedros não convexos para os quais ela também pode ser verificada. Dessa forma, dizemos que todo poliedro convexo é Euleriano (isso significa que para ele vale a relação de Euler), mas nem todo poliedro Euleriano é convexo.
Antes de prosseguir com exemplos e demais explicações, é bom relembrar o que é um poliedro convexo, pois a relação acima vale para todos eles.
Poliedros convexos
Um poliedro é chamado convexo quando o plano que contém cada face deixa todas as outras em um mesmo semiespaço. Na prática, não é necessário testar essa definição para todas as faces de um poliedro, mas apenas para aquelas que potencialmente possam classificá-lo como não convexo.
Por exemplo: O poliedro abaixo é não convexo. Para ter certeza disso, desenhamos uma parte de um plano que contém uma de suas faces. É evidente, escolhemos a face problemática para percebermos isso.
Já na figura abaixo, um cubo, um exemplo de um poliedro convexo. Note que ele não possui “concavidades”, ou seja, nenhuma de suas faces esta “voltada para dentro” do poliedro.
Contando os elementos de um poliedro
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Para verificar a validade da relação de Euler, escolheremos dois poliedros convexos e contaremos seus elementos. Depois disso, verificaremos se o número de vértices, arestas e faces realmente satisfazem a relação de Euler. Observe:
1 – Primeiramente, contaremos o número de faces, vértices e arestas da figura anterior (cubo).
Faces: 6
Arestas: 12
Vértices: 8
Agora, verificaremos a relação de Euler:
V – A + F = 8 – 12 + 6 = 14 – 12 = 2
Para o primeiro poliedro convexo, o cubo, a relação de Euler se verifica.
2 – Verificaremos agora a relação de Euler para a pirâmide quadrangular convexa.
Faces: 5
Arestas: 8
Vértices: 5
V – A + F = 5 – 8 + 5 = 10 – 8 = 2
E a relação de Euler também se verifica para a pirâmide quadrangular convexa.
Exemplos
1 – Determine o número de arestas de um sólido geométrico que possui 10 vértices e 7 faces.
V – A + F = 2
10 – A + 7 = 2
– A = 2 – 7 – 10
– A = – 15
A = 15
O sólido possui 15 arestas.
2 – Determine o número de faces que possui um poliedro com 12 arestas e 6 vértices.
V – A + F = 2
6 – 12 + F = 2
F = 2 +12 – 6
F = 8
O número de faces desse poliedro é 8.
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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA I 1a Questão (Ref.: 201201543758) 5a sem.: POLIEDROS Pontos: 0,0 / 1,0 Um poliedro convexo é formado por 80 faces triangulares e 12 pentagonais. O número de vértices desse poliedro é: 48 80 60 36 50 2a Questão (Ref.: 201201543756) 5a sem.: POLIEDROS Pontos: 0,0 / 1,0 O número de vértices de um poliedro convexo que possui 12 faces triangulares é: 4 6 8 12 10 3a Questão (Ref.: 201201455714) 5a sem.: Poliedros Pontos: 0,0 / 1,0 Sabe-se que um poliedro possui 8 faces triangulares e 6 faces quadrangulares. Podemos afirmar que esse poliedro tem: 10 vértices 12 vértices 46 arestas 15 faces 50 arestas 4a Questão (Ref.: 201201543800) 5a sem.: POLIEDROS Pontos: 0,0 / 1,0 Um poliedro convexo possui 2 faces quadrangulares, 2 faces pentagonais e 1 face hexagonal. Quantos vértices tem esse poliedro? 9 12 7 10 15 5a Questão (Ref.: 201201462234) 5a sem.: Poliedro Pontos: 0,0 / 1,0 Dado um poliedro convexo de onze faces, sendo seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares, temos que o número de vértices do poliedro é igual: 13 10 11 9 17 6a Questão (Ref.: 201201543771) 5a sem.: POLIEDROS Pontos: 1,0 / 1,0 Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 3600°, então o número de vértices desse poliedro é: 8 12 20 15 6 7a Questão (Ref.: 201201609284) 5a sem.: Poliedro Pontos: 1,0 / 1,0 Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas. Sobre o poliedro acima é somente correto afirmar que (I) É um tetraedro. (II) Possui 4 vértices. (III) Possui 6 arestas. (I) (I) e (III) (II) e (III) (I), (II) e (III) (I) e (II) 8a Questão (Ref.: 201201609287) 5a sem.: Poliedro Pontos: 0,0 / 1,0 Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas. Sobre o poliedro acima é somente correto afirmar que (I) É um Dodecaedro. (II) Possui 12 faces triangulares. (III) Possui 20 vértices. (I). (I), (II) e (III). (II) e (III). (I) e (II). (I) e (III). 9a Questão (Ref.: 201201543806) 5a sem.: POLIEDROS Pontos: 0,0 / 1,0 Dentre os polígonos regulares o único cujas faces são pentágonos regulares é o: undecaedro hexaedro dodecaedro tetraedro icosaedro 10a Questão (Ref.: 201201543797) 5a sem.: POLIEDROS Pontos: 0,0 / 1,0 Calcule a soma dos ângulos das faces de um poliedro que tem 12 arestas e 8 faces. 1480° 1460° 1420° 1400° 1440°