O conceito de cone Show
Considere uma região plana limitada por uma curva
suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano. Chamamos de cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer da região. Elementos do cone
Classificação do cone
Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma
região elíptica. Observações sobre um cone circular reto 1. 2. A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. No caso acima, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB. 3. Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida de cada geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos: g2 = h2 + R2 4. A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone): ALat = Pi R g 5. A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone): ATotal = Pi R g + Pi R2 Cones Equiláteros
A área da base do cone é dada por: ABase=Pi R2 (2R)2 = h2 + R2 h = R
Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então: V = (1/3) Pi
Como a área lateral pode ser obtida por: ALat = Pi R g = Pi R 2R = 2 Pi R2 então a área total será dada por: ATotal = 3 Pi R2 Exercícios resolvidos 1. A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um ângulo de 60 graus com o plano da base. Determinar a área lateral, área total e o volume do cone. sen(60o) = h/20 h = 10 R[3] cm V = (1/3) Abase h V = (1/3) Pi r2 h (1/3) Pi 102 10 r = 10 cm; g = 20 cm 2. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2cm e um dos ângulos mede 60 graus. Girando-se o triângulo em torno do cateto menor, obtem-se um cone. Qual é o seu volume?
(1/2) R = g2 = h2 + R2 V = (1/3) Abase h = (1/3) Pi R2 h = (1/3) Pi 3 = Pi cm3 3. Os catetos de um triângulo retângulo medem b e c e a sua area mede 2 m2. O cone obtido pela rotação do triângulo em torno do cateto b tem volume 16 Pi m3. Determine o comprimento do cateto c.
(1/2) b c = 2 implicando que b.c=4 V =(1/3) Abase h 4. As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone. hprisma = 12 5. Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio R e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete? V = Vcilindro - Vcone Qual a diferença entre geratriz é altura?Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base. Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.
Como descobrir a altura do cone com a geratriz?Cone Equilátero
Dessa forma, a geratriz é igual a duas vezes o raio da base circular, ou seja, a medida da geratriz é igual ao diâmetro da base. E a altura do cone é dada pela fórmula: h = R√3.
O que é altura de um cone?Além disso, o cone possui a altura (h), caracterizada pela distância do vértice do cone ao plano da base. Possui também a denominada geratriz, ou seja, a lateral formada por qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice e a outra na base do cone.
Onde fica a geratriz do cone?Chamamos de geratriz do cone qualquer segmento que parte do vértice e vai de encontro à circunferência da base. A geratriz é o segmento de reta AV na imagem. Note que ele é a hipotenusa do triângulo AVC, logo podemos estabelecer uma relação pitagórica entre o raio, a altura e a geratriz.
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