Todos os dias na TV, no rádio, jornais e revistas, nos deparamos com situações que envolvem o cálculo de porcentagem. Taxas de juros em financiamentos de veículos, compras à prestação, descontos em compras feitas à vista, rendimento da poupança, alta do dólar, são alguns exemplos de onde observamos a utilização do cálculo da porcentagem de um número. Em toda transação financeira podemos notar a presença da porcentagem, elevando ou diminuindo o valor de algo. Mas o que vem a ser porcentagem? Show
Porcentagem é uma parte de um todo de cem partes, ou seja, uma fração cujo denominador é 100. Observe os exemplos que seguem. Exemplo 1. Em um grupo de 100 garotos, 75 deles gostam de futebol. A fração que representa a quantidade de meninos desse grupo que aprecia futebol é: 75/100
Como essa fração representa uma parte do total de 100 garotos, ela representa uma porcentagem desse grupo. Toda fração com denominador 100 pode ser escrita na forma de porcentagem. Observe:
Então, podemos afirmar que 75% desses garotos gostam de futebol. Exemplo 2. De cada 100 crianças nascidas no Brasil, 46 são do sexo feminino. A fração que representa a quantidade de crianças do sexo feminino é: 46/100 Dessa forma, podemos afirmar que: 46% das crianças nascidas no Brasil são do sexo feminino. Como foi dito, toda e qualquer fração com denominador 100 pode ser escrita na forma de porcentagem. Essa característica facilita o cálculo da porcentagem de um número. Veja o próximo exemplo. Exemplo 3. Numa sorveteria, 30% dos 250 sorvetes vendidos por dia são de sabor morango. Quantos sorvetes de morango são vendidos por dia nessa sorveteria? Solução: O problema afirma que 30% de 250 sorvetes são de morango. Portanto devemos saber quanto é 30% de 250 para responder ao problema. Na matemática, a palavra “de” representa a operação de multiplicação. Assim, podemos reescrever a afirmação da seguinte forma: 30% de 250 = 30% x 250 Vimos nos exemplos anteriores que: Assim, podemos melhorar a escrita da afirmação mais uma vez: Logo, a sorveteria vende 75 sorvetes de morango por dia. Vimos que porcentagem é uma forma diferente de escrever uma fração cujo denominador é 100. Como toda fração pode ser escrita na forma de um número decimal, a porcentagem também pode ser escrita. Vejamos como isso ocorre. Escrever a porcentagem na forma decimal pode facilitar os cálculos na resolução de alguns problemas. Observe: Exemplo 4. Pedro guardou 12% de seu salário na poupança. Sabendo que o salário de Pedro é de R$ 1500,00, quanto ele aplicou na poupança? Solução: Segundo o problema, Pedro guardou 12% de 1500 na poupança. Assim, teremos: 12% de 1500 = 12% × 1500 Mas, O cálculo fica da seguinte forma: 12% × 1500 = 0,12 × 1500 = 180 Portanto, Pedro guardou 180 reais na poupança. Exemplo 5. Quanto é 23% de 500? Solução: Sabemos que: 23% = 0,23 Assim, teremos: 23% de 500 = 0,23 × 500 = 115 Por
Marcelo Rigonatto Vídeoaula relacionada: Ensino Fundamental, M�dio e Superior no BrasilEnsino Fundamental Fra��es e n�meros decimais Liliane E.Banzatto Material desta p�gina
1 O papel das fra��es e n�meros DecimaisEsta p�gina trata do estudo de fra��es e n�meros decimais, bem como seus fatos hist�ricos, propriedades, opera��es e aplica��es. As fra��es decimais e n�meros decimais possuem not�ria import�ncia cotidiana. Tais conceitos s�o usados em muitas situa��es pr�ticas, embora, muitas vezes passem despercebidas. Indo ao supermercado comprar \(1/2\) kg de caf� por 2,80 e pagando a compra com uma nota de 5,00, obt�m-se 2,20 de troco. Neste exemplo, observamos o uso de fra��es e n�meros decimais. Atrav�s deste tipo de compra, usamos o conceito de fra��o decimal juntamente com o sistema de pesagem (\(1/2\) kg, n�meros decimais juntamente com o sistema monet�rio. Muitas outras situa��es utilizam de fra��es e n�meros decimais. Nota: Para dividir um n�mero \(X\) por outro n�mero n�o nulo \(Y\), usamos frequentemente a nota��o \(X/Y\), por ser mais simples. 2 Elementos hist�ricos sobre os n�meros DecimaisHoje em dia � comum o uso de fra��es. Houve tempo, por�m que as mesmas n�o eram conhecidas. O homem introduziu o uso de fra��es quando come�ou a medir e representar medidas. Os eg�pcios usavam apenas fra��es que possuiam o n�mero 1 dividido por um n�mero inteiro, como por exemplo: \(1/2\), \(1/3\), \(1/4\), \(1/5\),etc Tais fra��es eram denominadas fra��es eg�pcias e ainda hoje t�m muitas aplica��es pr�ticas das mesmas. Outras fra��es foram descobertas pelos mesmos eg�pcios as quais eram expressas em termos de fra��es eg�pcias, como: \(5/6=1/2+1/3\). Em geral, os babil�nios usavam fra��es com denominador \(60\). Talvez o uso do n�mero \(60\) pelos babil�nios se deve ao fato que � um n�mero menor do que \(100\) com a maior quantidade de divisores inteiros. Os romanos, por sua vez, usavam constantemente fra��es com denominador \(12\). Provavelmente os romanos usavam o n�mero \(12\) por ser um n�mero que embora pequeno, possui um n�mero expressivo de divisores inteiros. Com o passar dos tempos, muitas nota��es foram usadas para representar fra��es. A atual maneira de representa��o data do s�culo XVI. Os n�meros decimais t�m origem nas fra��es decimais. Por exemplo, a fra��o \(1/2\) equivale � fra��o \(5/10\) que equivale ao n�mero decimal \(0,5\). Stevin (engenheiro e matem�tico holand�s), em 1585 ensinou um m�todo para efetuar todas as opera��es por meio de inteiros, sem o uso de fra��es, no qual escrevia os n�meros naturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posi��o ocupada pela v�rgula no numeral decimal. A nota��o abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande matem�tico escoc�s. \[\dfrac{1437}{1000}=1,\stackrel{1}{4}\stackrel{2}{3}\stackrel{3}{7}\] A representa��o dos algarismos decimais, provenientes de fra��es decimais, recebia um tra�o no numerador indicando o n�mero de zeros existentes no denominador. \[\frac{437}{100} = 437/100 = 4\underline{37}\] Este m�todo foi aprimorado e em \(1617\) Napier prop�s o uso de um ponto ou de uma v�rgula para separar a parte inteira (PI) da parte decimal (PD). \[\frac{437}{100} = 437/100 = 4,\underline{37}\] e mais tarde para \[\frac{437}{100} = 437/100 = 4,37\] Por muito tempo os n�meros decimais foram usados apenas para c�lculos astron�micos em virtude da precis�o proporcionada. Os n�meros decimais simplificaram muito os c�lculos e passaram a ser usados com mais �nfase ap�s a cria��o do sistema m�trico decimal. 3 Fra��es e N�meros DecimaisDentre todas as fra��es, existe um tipo especial cujo denominador � uma pot�ncia de \(10\). Este tipo � denominado fra��o decimal. Exemplos de fra��es decimais, s�o: \[\frac{1}{10},\quad \frac{3}{100},\quad \frac{23}{100},\quad \frac{1}{1000},\quad \frac{1}{10^3}\] Toda fra��o decimal pode ser representada por um n�mero decimal, isto �, um n�mero que tem uma parte inteira (PI) e uma parte decimal (PD), separados por uma v�rgula. A fra��o \(127/100=\frac{127}{100}\) pode ser escrita na forma mais simples, como: \[127/100 = 1,27\] onde \(1\) representa a parte inteira e \(27\) representa a parte decimal. Esta nota��o subentende que a fra��o \(127/100\) pode ser decomposta na seguinte forma: \[\begin{align*} \frac{127}{100} & = \frac{100+27}{100}\\ & = \frac{100}{100}+\frac{27}{100}\\ & = 1 + 0,27 = 1,27 \end{align*}\] A fra��o \(\frac{8}{10}=8/10=0,8\), onde 0 � a parte inteira e 8 � a parte decimal. Aqui notamos que este n�mero decimal � menor do que \(1\) pois o numerador � menor do que o denominador da fra��o. 4 Leitura de n�meros decimaisPara ler n�meros decimais, primeiro devemos observar a posi��o da v�rgula que separa a parte inteira (PI) da parte decimal (PD). Um n�mero decimal pode ser posto na forma gen�rica: Centenas, Dezenas, Unidades, D�cimos, Cent�simos, Mil�simos Por exemplo, o n�mero 130,824, pode ser escrito na forma: 1 Centena, 3 dezenas, 0 unidades, 8 d�cimos, 2 cent�simos e 4 mil�simos Exemplos:
5 Transformando fra��es decimais em n�meros decimaisPodemos escrever a fra��o decimal \(1/10\) como: \(0,1\). Esta fra��o � lida como: um d�cimo. A v�rgula separa a parte inteira(PI) da parte fracion�ria (PF): \[\begin{matrix} \hline \text{PI} & \text{v�rgula} & \text{PF} \\ \hline 0 & , & 1 \\ \hline \end{matrix}\] Uma outra situa��o mostra que a fra��o decimal \(231/100\) pode ser escrita como \(2,31\), que se l� da seguinte maneira: dois inteiros e trinta e um cent�simos. A v�rgula separa a parte inteira da parte fracion�ria: \[\begin{matrix} \hline \text{PI} & \text{v�rgula} & \text{PF} \\ \hline 2 & , & 31 \\ \hline \end{matrix}\] Em geral, transforma-se uma fra��o decimal em um n�mero decimal fazendo com que o numerador da fra��o tenha o mesmo n�mero de casas decimais que o n�mero de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a divis�o do numerador pelo denominador. Por exemplo:
6 Transformando n�meros decimais em fra��es decimaisTamb�m � poss�vel transformar um n�mero decimal em uma fra��o decimal. Para isto, toma-se como numerador o n�mero decimal sem a v�rgula e como denominador a unidade (\(1\)) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do n�mero dado. Como exemplo, temos:
7 Propriedades dos n�meros decimais7.1 Anexar zeros ap�s o �ltimo algarismoUm n�mero decimal n�o se altera quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros � direita do �ltimo algarismo n�o nulo de sua parte decimal. Por exemplo:
7.2 Multiplicando por uma pot�ncia de 10Para multiplicar um n�mero decimal por 10, 100 ou 1000, basta deslocar a v�rgula para a direita 1, 2, ou 3 casas decimais. Por exemplo:
7.3 Dividindo por uma pot�ncia de 10Para dividir um n�mero decimal por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a v�rgula para a esquerda 1, 2, 3, etc casas decimais. Por exemplo:
8 Opera��es com n�meros decimais8.1 Adi��o e Subtra��oPara somar ou subtrair n�meros decimais, devemos seguir alguns passos: Passo1: Igualar a quantidade de casas decimais dos n�meros decimais a serem somados ou subtra�dos acrescentando zeros � direita de suas partes decimais. Por exemplo:
Passo2: Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc), de forma que:
Duas situa��es: Uma com 2,4+1,713: \[\begin{array}{cl} \hline & 2,400 \\ + & 1,713 \\ \hline & 4,113 \\ \hline \end{array}\] e outra com 2,4-1,723: \[\begin{array}{cl} \hline & 2,400 \\ - & 1,713 \\ \hline & 0,687 \\ \hline \end{array}\] 8.2 Multiplicando n�meros decimaisMultiplicamos dois n�meros decimais transformando cada um deles em fra��es decimais e realizando a multiplica��o com numerador por numerador e denominador por denominador. Por exemplo: \[\begin{align*} 2,25{\times}3,5 & = \frac{225}{100} {\times} \frac{35}{10} \\ & = \frac{225{\times}35}{100{\times}10} \\ & = \frac{7875}{1000} = 7,875 \end{align*}\] Podemos tamb�m multiplicar os n�meros decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas com as casas do multiplicador. Por exemplo: \[\begin{array}{rcll} \hline 225 & 2,25 & \text{2 casas decimais} & \text{multiplicando} \\ 35 & 3,5 & \text{1 casa decimal} & \text{multiplicador} \\ \hline 7875 & 7,875 & \text{3 casas decimal} & \text{produto} \\ \hline \end{array}\] 8.3 Dividindo n�meros decimaisComo visto antes, se multiplicamos tanto o dividendo como o divisor de uma fra��o por 10, 100 ou 1000, o quociente n�o se altera. Usando essas informa��es podemos efetuar divis�es entre n�meros decimais como se fossem divis�es de n�meros inteiros. Por exemplo, para realizar a divis�o: \(3,6�0,4\), notamos que tanto o dividendo como o divisor possuem apenas uma casa decimal, assim, multiplicando o numerador e o denominador da fra��o por 10, obtemos n�meros inteiros no numerador e no denominador da fra��o. Na pr�tica, dizemos que estamos cortando a v�rgula. \[3,6�0,4=\frac{3,6}{0,4}=\frac{3,6{\times}10}{0,4{\times}10}=\frac{36}{4}=9\] A divis�o \(0,35�7\) pode ser escrita na forma: \[\frac{0,35}{7} =\frac{0,35{\times}100}{7{\times}100} = \frac{35}{700} = \frac{35�7}{700�7} = \frac{5}{100} = 0,05\] Neste caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor � um inteiro, logo multiplicamos ambos por \(100\) para que o quociente n�o se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor ser�o inteiros. Exerc�cio: Uma pessoa de bom cora��o doou \(35\) medidas de terra para \(700\) pessoas. Sabendo-se que cada medida corresponde a \(24.200\) metros quadrados, qual ser� a �rea que cada um receber�? 8.4 Dividindo um n�mero por outro maiorVamos considerar a divis�o de \(35\div 700\). Transformamos o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, etc, para obter 350 d�cimos, 3500 cent�simos, etc at� que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a divis�o se torne poss�vel. Neste caso, devemos multiplicar por 100. Assim a divis�o de 35 por 700 � transformada numa divis�o de 3500 por 700. Como acrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se uma v�rgula ap�s o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, o quociente fica dividido por 100. \[\begin{array}{rr|ll} \hline \text{dividendo} & 3500 & 700 & \text{divisor} \\ \hline \text{resto} & 0 & 0,05 & \text{quociente} \\ \hline \end{array}\] Realizamos a divis�o de 3500 por 700 para obter 5, lembramos que foram anexados 2 zeros e conclu�mos que agora devemos dividir por 100, para obter 0,35/7=35/700=0,05. 8.5 Divis�o de 10 por um n�mero naturalA divis�o \(10\div 16\) n�o resulta em um inteiro no quociente. Como \(10<16\), o quociente da divis�o n�o � um inteiro, assim para dividir o n�mero 10 por 16, montamos uma tabela semelhante � divis�o de dois n�meros inteiros. \[\begin{array}{rrll} \hline \text{dividendo} & 10 & 16 & \text{divisor} \\ \hline \text{resto} & 0 & {} & \text{quociente} \\ \hline \end{array}\]
9 Compara��o de n�meros decimaisA compara��o de n�meros decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses n�meros. Para isso, fazemos uso dos sinais: \(>\) (maior), \(<\) (menor) ou \(=\) (igual). 9.1 N�meros com partes inteiras diferentesO maior n�mero � aquele que tem a parte inteira maior. Por exemplo:
9.2 N�meros com partes inteiras iguaisIgualamos o n�mero de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos forem necess�rios. Ap�s esta opera��o, temos dois n�meros com a mesma parte inteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual � o maior deles. Alguns exemplos, s�o:
10 PorcentagemAo abrir um jornal, ligar uma televis�o, olhar vitrines, � comum depararmos com express�es do tipo:
A porcentagem � um modo de comparar n�meros usando a propor��o direta, onde uma das raz�es da propor��o � uma fra��o cujo denominador � \(100\). Toda raz�o \(a/b\) na qual \(b=100\) chama-se porcentagem. Exemplos:
Como transformar 40% em fração?Escreva-a na forma decimal: 2/5 = 0,4 = 0,40 = 40%. >>
Como transformar 50% em fração?50% é igual a 0,5 e também a ½ e 50/100.
Como fazer a fração de 20%?O que é porcentagem
Ao analisar sua representação como fração, podemos entender melhor seu conceito. Vejamos: 20% = 20/100. Ou seja, nesse exemplo o 20 é dividido por 100 partes.
Qual é a fração de 60%?60% = 0,60 = 60/100 (Sessenta sobre cem).
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