Esse numero é racional por quê

Transcrição de vídeo

RKA - Nesse vídeo, quero fazer uma prova rápida de que, se eu pegar um número racional e multiplicar por um número irracional, vai resultar num número irracional. Te aconselho a pausar esse vídeo e pensar se pode provar sozinho. E uma dica: você pode provar por uma prova através de contradição. Suponha que um racional vezes um irracional te dá um número racional. Daí, veja, ao operar isso, se pode estabelecer que, de repente, esse número irracional deve ser, de alguma forma, racional. Estou supondo que você vai tentar. Vamos pensar um pouco. Disse que vou fazer através de uma prova por contradição. Vamos assumir que um racional vezes um irracional nos dá um número racional. Então, para representar esse racional, vamos representar como uma razão de dois inteiros "a/b". Esse número irracional vou chamar apenas de "x". Estamos dizendo que "a/b" vezes "x" pode nos dar um número racional. Vamos chamar isso de "m/n". Estou supondo que um número racional (que pode ser expressado como a razão de dois inteiros) vezes um número irracional, pode me dar um outro número racional. Vamos ver se podemos preparar alguma forma de contradição. Vamos calcular os números irracionais. A melhor maneira de calcular é multiplicar os dois lados pelo inverso desse número. Vamos multiplicar vezes "b/a". E o que sobrou? Obtemos nosso número irracional "x" sendo igual a "m" vezes "b"; ou dá apenas para escrever como "mb" sobre "na". Por que é interessante? Bom, "m" é um inteiro, "b" é um inteiro. Todo esse numerador é um inteiro, e todo o denominador é algum inteiro. Aqui tem uma razão de dois inteiros. Acabei de expressar o que a gente achou ser um número irracional. Acabei de expressar como a razão de dois inteiros. Agora, tem que "x" deve ser um racional. E esta é nossa contradição, porque assumimos que "x" é irracional. Portanto, uma vez que esta suposição leva a esta contradição aqui, esta suposição deve ser falsa. Deve ser que: um racional vezes um irracional é irracional. A gente se vê no próximo vídeo.

O conjunto dos números irracionais é formado pelos números que não podem ser representados como frações. Em algumas situações, o conjunto dos números racionais não era suficiente para a resolução de problemas, foi quando se percebeu a existência dos números irracionais, como as raízes não exatas, as dízimas não periódicas, o π, entre outros.

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Conjunto dos números irracionais

No decorrer da história, na aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo de lados medindo 1, percebeu-se que a resposta era igual à raiz do número 2.

Acontece que essa resposta, aparentemente simples, tornou possível a descoberta de um novo conjunto numérico. Na tentativa de encontrar-se a resposta para essa raiz quadrada de 2, encontrou-se um número decimal conhecido como dízima não periódica, que é impossível de ser representada como uma fração. Isso fez necessária a criação de um novo conjunto, os irracionais, já que, até aquele momento, todos os números eram racionais (que podem escritos como fração).

O conjunto dos números irracionais é composto por todos os números que não podem ser escritos na forma de uma fração.

Quais são os números irracionais?

Para que um número seja considerado irracional, ele precisa respeitar a definição, ou seja, ele não pode ser representado como uma fração. Esses números são as raízes não exatas, as dízimas não periódicas e alguns casos especiais, como a constante π (lê-se: pi) ou o número ɸ (lê-se: fi), entre outros.

• Raízes não exatas

Quando o número não é um quadrado perfeito, é conhecido como raiz não exata. Veja alguns exemplos:

• Dízimas não periódicas

Ao resolver-se essas raízes, a resposta sempre vai ser uma aproximação, o que chamamos de dízimas não periódicas.

Note que a parte decimal é infinita e que não existe um período, ou seja, uma sequência que faça com que a gente consiga prever o próximo número da parte decimal, e é por isso que chamamos esse número de dízima não periódica. Não só as dízimas geradas por raízes não exatas, mas qualquer dízima não periódica é um número irracional.

Outros números irracionais

• Número π: é bastante comum para cálculos envolvendo curvas, como área e comprimento de circunferência ou volume de cilindros e cones, e é um dos mais conhecidos números irracionais. Pelo fato de ser irracional, utilizamos um símbolo para representá-lo, ainda assim, π é uma dízima não periódica, e seu valor é igual a 3,14159265358979323846… São conhecidas várias casas desse número, mas normalmente utilizamos uma aproximação, com o valor de 3,14.

• Número ɸ: é conhecido também como número de ouro e é estudado desde a Antiguidade, descrevendo vários fenômenos da natureza, como a reprodução de populações de coelhos. Há também relato do uso dessa proporção em obras artísticas. Ele também é um número irracional, e por isso é representado pelo símbolo ɸ, sendo seu valor de: 1,61803398875…

• Constante de Euler: é utilizada para fenômenos que envolvem matemática financeira, e nas áreas de biologia, astronomia, entre outras. Ela também é um número irracional e, por isso, é representada pelo símbolo e, sendo seu valor de: 2,718281828459045235360…

Veja também: Números primos – número natural que possui apenas dois divisores

Número racional e irracional

Acontece que um número qualquer pode ser classificado como racional ou irracional. De forma direta, o número racional é todo número que pode ser escrito como fração. São números racionais os decimais exatos, as dízimas periódicas, os números inteiros. Já os números irracionais são o oposto disso, ou seja, são os que não podem ser escritos como fração, como citamos, são eles as dízimas não periódicas e raízes não exatas.

• Exemplo

A dízima 3,12121212… é periódica, note que na sua parte decimal existe um período, que é o número 12, que sempre se repete, logo, esse número é racional.

A dízima 6,1249375…. é não periódica, note que não há um período na sua parte decimal, o que faz com que esse número seja irracional.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Qual dos números a seguir pode ser classificado como irracional?

Resolução

Alternativa C.

a) Sabemos que 25 é um quadrado perfeito, ou seja, sua raiz quadrada é exatamente igual a 5, logo, esse é um número racional.

b) Ao calcular a raiz de 81, sabemos que seu resultado é 9, o que faz com que aquele número seja  racional.

c) 10 não possui raiz quadrada exata, ou seja, ele é um número irracional, o que torna a alternativa C correta.

d) 5,1888 é um número decimal exato, logo, ele é racional.

e) 1,2323… é uma dízima com o período igual a 23, logo, trata-se de um número racional.

Questão 2 - Sobre os números irracionais, julgue as afirmativas seguintes como verdadeiras ou falsas:

I - Toda raiz quadrada é um número irracional.

II - Toda dízima não periódica é um número irracional.

III - O número ɸ e o número π são exemplos de números irracionais.

De acordo com o julgamento das sentenças, é correto afirmar que:

a) Somente a afirmativa I é verdadeira.

b) Somente a afirmativa II é verdadeira.

c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

d) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.

e) Todas as afirmativas são verdadeiras.

Resolução

Alternativa C.

I - Falsa, pois somente a raiz quadrada não exata é um número irracional.

II - Verdadeira. Dízimas não periódicas são números irracionais.

III - Verdadeira, pois os números ɸ e π são dízimas não periódicas, logo, são números irracionais.

Porque o número é racional?

Como identificar que um número é racional?

Quais os números que são racionais?

Quando o número não é racional?