No��es de Probabilidade I Show 1 – Introdu��o Chama-se experimento aleat�rio aquele cujo resultado � imprevis�vel, por�m pertence necessariamente a um conjunto de resultados poss�veis denominado espa�o amostral. Por exemplo, no lan�amento de um dado, o nosso espa�o amostral seria U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Exemplos de eventos no espa�o amostral U: Nota:
O espa�o amostral � tamb�m denominado espa�o de prova. Em oposi��o aos fen�menos aleat�rios, existem os fen�menos determin�sticos, que s�o aqueles cujos resultados s�o previs�veis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos. Normalmente existem diversas possibilidades poss�veis de ocorr�ncia de um fen�meno aleat�rio, sendo a medida num�rica da ocorr�ncia de cada uma dessas possibilidades, denominada Probabilidade. Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para uma retirada, teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que ser� muito mais freq�ente obtermos numa retirada, uma bola azul, resultando da�, podermos afirmar que o evento "sair bola azul" tem maior probabilidade de ocorrer, do que o evento "sair bola branca". 2 – Conceito elementar de Probabilidade Seja U um espa�o amostral finito e equiprov�vel e A um determinado evento ou seja, um subconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorr�ncia do evento A ser� calculada pela f�rmula p(A) = n(A) / n(U) onde: 1.1 - Considere o lan�amento de um dado. Calcule a probabilidade de: a) sair o n�mero 3: b) sair um n�mero par: agora o evento � A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade procurada ser� p(A) = 3/6 = 1/2. c) sair um m�ltiplo de 3: agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidade procurada ser� p(A) = 2/6 = 1/3. d) sair um n�mero menor do que 3: agora, o evento A = {1, 2} com dois elementos. Portanto,p(A) = 2/6 = 1/3. e) sair um quadrado perfeito: agora o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6 = 1/3. 1.2 - Considere o lan�amento de dois dados. Calcule a probabilidade de: a) sair a soma 8 b) sair a soma 12 1.3 – Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposi��o, calcule as probabilidades seguintes: a) sair bola azul b) sair bola vermelha c) sair bola amarela Vemos no exemplo acima, que as probabilidades podem ser expressas como porcentagem. Esta forma � conveniente, pois permite a estimativa do n�mero de ocorr�ncias para um n�mero elevado de experimentos. Por exemplo, se o experimento acima for repetido diversas vezes, podemos afirmar que em aproximadamente 30% dos casos, sair� bola azul, 50% dos casos sair� bola vermelha e 20% dos casos sair� bola amarela. Quanto maior a quantidade de experimentos, tanto mais a distribui��o do n�mero de ocorr�ncias se aproximar� dos percentuais indicados. 3 – Propriedades P1: A probabilidade do evento imposs�vel � nula. P2: A probabilidade do evento certo � igual a unidade. P3: A probabilidade de um evento qualquer � um n�mero real situado no intervalo real [0, 1]. P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar � igual a unidade. P5: Sendo A e B dois eventos, podemos escrever: Com efeito, j� sabemos da
Teoria dos Conjuntos que Exemplo: SOLU��O: A interpreta��o do resultado � a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais � de aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de n�o ser). 4 – Probabilidade condicional Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorr�ncia de um evento A, sabendo-se de antem�o que ocorreu um certo evento B. Pela defini��o de probabilidade vista anteriormente, sabemos que a probabilidade de A dever� ser calculada, dividindo-se o n�mero de elementos de elementos de A que tamb�m pertencem a B, pelo n�mero de elementos de B. A probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que j� ocorreu B, � denominada Probabilidade condicional e � indicada por p(A/B) – probabilidade de ocorrer A sabendo-se que j� ocorreu B – da�, o nome de probabilidade condicional. Teremos ent�o: p(A/B) = n(A � B)/ n(B) onde A� B = interse��o dos conjuntos A e B. Esta f�rmula � importante, mas pode ser melhorada. Vejamos:Ora, a express�o acima, pode ser escrita sem nenhum preju�zo da eleg�ncia, nem do rigor, como: p(A/B) = [n(A � B)/n(U)] . [n(U)/n(B)] p(A/B) = p(A � B) . 1/p(B) Vem, ent�o: P(A/B) = p(A � B)/p(B), de onde conclu�mos finalmente: p(A �B) = p(A/B).p(B) Esta f�rmula � denominada Lei das Probabilidades Compostas. Podemos ent�o afirmar, que a probabilidade de ocorr�ncia simult�nea de eventos independentes, � igual ao produto das probabilidades dos eventos considerados. Exemplo: a) em duas retiradas, sem reposi��o da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B). Solu��o: b) em duas retiradas, com reposi��o da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca. Solu��o: Observe atentamente a diferen�a entre as solu��es dos itens (a) e (b) acima, para um entendimento perfeito daquilo que procuramos transmitir. Paulo Marques, arquivo revisado em 26/12/2000. CONTINUAR Qual é a probabilidade de sair o número 3 no lançamento de um dado?a) sair o número 3: Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(U) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 1/6.
Qual é a probabilidade de se obter um número menor que 3 no lançamento de um dado?Sendo o dado perfeito, todas as 6 faces têm a mesma chance de caírem voltadas para cima. Vamos então, aplicar a fórmula da probabilidade. Para responder na forma de uma porcentagem, basta multiplicar por 100. Portanto, a probabilidade de sair um número menor que 3 é de 33%.
Qual a probabilidade da soma de dois dados?Para calcular a probabilidade da união de dois eventos, utilizamos a fórmula: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).
Qual é a probabilidade de que a soma de dois dados lançados tenha resultado igual a 8?A probabilidade de sair soma 8 é 14%.
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