Num triângulo retângulo um ângulo agudo vale o dobro do outro quanto medem esses ângulos

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a medida do ângulo. 
 Veja outro exemplo abaixo. 
 
Exemplo 13: 
 Para calcular os cossenos dos ângulos do triângulo GHI, fazemos: 
 
 
 
cos I = 6
3 5
 = 2
5
 = 2 5
5
 
 
cos G = 3
3 5
 = 1
5
 = 5
5
 
 
 Se, por outro lado, calcularmos os senos dos ângulos agudos dos triângulos GHI, obteremos: 
 
sen I = 3
3 5
 = 5
5
 
 
sen G = 6
3 5
 = 2 5
5
 
 
 Observemos que sen I = cos G e sem G = cos I. 
 
 Lembrando que os ângulos agudos de um triângulo retângulo são 
complementares, surge uma propriedade importante envolvendo senos e cossenos: 
 
sen x = cos (90º - x) 
 
ou 
 
cos x = sen (90º - x) 
 
Relação fundamental I 
 
 Seja o triângulo ABC a seguir. 
 
 
 
 Sabemos, pelo teorema de Pitágoras, que b2 + c2 = a2. 
 Dividindo, membro a membro, por a2, obtemos: 
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	 13 
b2	+ c2
a2
 = a
2
a2
 ® b
2
a2
 + c
2
a2
 = 1 ® b
a
2
 + c
a
2
 = 1 ® sen2 B + cos2 B = 1 
 
 De modo geral, podemos escrever, para um ângulo x qualquer: 
 
sen2 x + cos2 x = 1 
 
que é chamada relação fundamental I. 
 Observe alguns exemplos. 
 
 Exemplo 14: 
 Tomemos, para exemplificar, um ângulo de 32º e, mediante o uso da tabela, comprovemos a 
relação fundamental I. 
 Temos: 
 
sen 32º = 0,52992 ® sen2 32º = 0,28081 
 
cos 32º = 0,84805 ® cos2 32º = 0,71918 
 
sen2 32º + cos2 32º = 0,28081 + 0,71918 = 0,9999 @ 1 
 
Exemplo 15: 
 A relação fundamental I permite que, dada uma das duas razões de um ângulo agudo, 
determinemos o valor da outra razão trigonométrica do mesmo ângulo. 
 Dado, por exemplo, cos x = 0,17365, é possível determinar, sem o uso da tabela, o valor de 
sem x com 0º < x £ 90º. Basta fazer: 
 
sen2 x + 0,173652 = 1 ® sen2 x = 1 – 0,03015 = 0,96985 ® sen x = + 0,96985 = 0,984809 
 
tangente de um ângulo agudo 
 
 Num triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é dada pela razão 
entre o cateto oposto a esse ângulo e o cateto adjacente a ele. 
 
 
 
tg x = cateto oposto a x 
cateto adjacente a x
 
 
 No caso, temos: 
 
tg B = b 
c
 e tg C = c 
b
 
 
 Veja um exemplo. 
 
Exemplo 16: 
 Não é necessário que conheçamos a hipotenusa para achar tg B e tg C. 
 Veja: 
 
 
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	 14 
tg B = 9 
5
 
 
e 
 
tg C = 5
9
 
 
 Podemos notar que as tangentes dos ângulos agudos são inversas uma da outra. 
 
 Lembrando que os ângulos B e C são complementares, podemos escrever, 
generalizando: 
 
tg x . tg (90º - x) = 1 
 
ou 
 
tg (90º - x) = 1
tg x
 
 
Relação fundamental II 
 
 Observe o triângulo ABC abaixo. Podemos escrever tg B = b 
c
. 
 
 
 
 Dividindo simultaneamente o numerador e o denominador da fração por a 
(medida da hipotenusa do triângulo), obtemos: 
 
tg B = 
b
a 
c
a
, ou seja, tg B = sen	B 
cos	B
 
 
 De modo geral, escrevemos: 
 
tg x = sen x 
cos x
, para todo ângulo agudo x. 
 
É a chamada relação fundamental II. 
 Observe o exemplo abaixo. 
 
Exemplo 17: 
 Vamos à tabela completa. 
 Seja x = 29º. Temos sem 29º = 0,48481 e cos 29º = 0,87462. 
 Dividindo 0,48481 por 0,87462, obtemos: 
 
0,48481 : 0,87462 = 0,5543 = tg 29º 
 
Ângulos notáveis 
 
 Faremos agora algumas considerações importantes com relação aos ângulos 
de 30º, 45º e 60º, chamados ângulos notáveis. 
 
• Há triângulos retângulos que apresentam um ângulo agudo de 30º 
(consequentemente, o outro ângulo agudo mede 60º). Procuraremos 
calcular os valores das razões trigonométricas de 30º e 60º. Para tanto, 
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	 15 
construiremos um triângulo equilátero ABC de lado ℓ, traçando sua altura 
AH, de medida h. 
 
 
 
Temos: 
 
BH = CH = ℓ 
2
 
 
BÂH = CÂH = 30º 
 
Pelo teorema de Pitágoras, aplicado no DAHC, obtemos: 
 
h2 = ℓ 2 - ℓ
2
2
 ® h = ℓ 3
2
 
 
Podemos, assim, determinar as razões procuradas: 
 
o sen 30º = 
ℓ
2
ℓ
 ® sen 30º = cos 60º = 1
2
 
o cos 30º = h
ℓ
 ® cos 30º = 
ℓ 3
2
ℓ
 ® cos 30º = sen 60º = 3
2
 
o tg 60º = hℓ
2
 = 
ℓ 3
2
ℓ
2
 ® tg 60º = 3 
o tg 30º = 1
tg 60º
 = 1
3
 . 3
3
 ® tg 30º = 3
3
 
 
Observações! 
• Uma consequência importante: “Se um triângulo retângulo possui um ângulo de 
30º, a hipotenusa mede o dobro do cateto oposto a esse ângulo.” 
 
 
 
 
• Há triângulos retângulos que apresentam os dois ângulos medindo, cada 
um, 45º. Vejamos o triângulo retângulo isósceles ABC, de catetos iguais a 
ℓ e hipotenusa a. Calcularemos os valores das razões trigonométricas de 
45º. 
 
 
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	 16 
Pelo teorema de Pitágoras, obtemos: 
 
a2 = ℓ 2 + ℓ 2 = 2ℓ 2 ® a = ℓ 2	
 
Assim, sen 45º = ℓ
ℓ &
 = 1
2
 = 2
2
 ® sen 45º = cos 45º = 2
2
. 
Temos também tg 45º = sen 45º 
cos 45º
 ® tg 45º = 1. 
Resumindo, temos a seguinte tabela: 
 
 30º 45º 60º 
sen 1
2 
2
2 
3
2 
cos 3
2 
2
2 
1
2 
tg 3
3 
1 3 
 
#DICADAVIVI 
• Para aprender como gravar esta tabela assista o vídeo 
https://www.youtube.com/watch?v=2FiCKoPBfZQ! 
 
 
Exercícios 
 
1. Considerando as medidas indicadas na figura a seguir, determine o valor de x. 
 
 
 
2. Na figura a seguir, temos: AB = 12 cm, AC = 13 cm e BC = 15 cm. Além disso, o 
segmento DE = 5 cm é paralelo ao segmento BC. Determine: 
 
 
 
a. A medida de AD; 
b. A medida de AE. 
 
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	 17 
3. Em cada caso temos DABC ~ DA’B’C’. Determine as medidas x e y. 
a. 
 
b. 
 
c. 
 
d. 
 
4. Na figura BC // DE // FG. 
 
 
 
Sabendo que AD = DF = 2 DB, determine CE, AE e CG. 
5. Determine a razão entre os perímetros dos triângulos (do menor para o maior) da 
figura abaixo, sabendo que r // s. 
 
 
 
6. Calcule o valor de x aplicando o teorema de Pitágoras: 
a. 
 
b. 
 
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	 18 
c. 
 
d. 
 
 
7. Aplicando o teorema de Pitágoras, determine as medidas de x e y indicadas. 
a. 
 
b. 
 
c. 
 
 
8. As diagonais de um losango medem 12 cm e 16 cm. 
a. Determine a medida do lado desse losango; 
b. Calcule a área desse losango. 
 
9. A diagonal de um quadrado mede 10 2 cm. Qual é a medida do lado desse 
quadrado? 
 
10. O perímetro de um retângulo é 68 cm. Um dos lados desse retângulo mede 10 
cm. Calcule a medida da diagonal do retângulo. 
 
11. O lado de um triângulo equilátero tem a mesma medida que a diagonal de um 
quadrado com 25 cm de lado. Calcule a medida da altura desse triângulo. 
 
12. Na figura abaixo, cada circunferência, tem 1,5 cm de raio. Determine a área do 
triângulo ABC. 
 
 
 
13. Uma escada de 2,5 m de comprimento estava apoiada em um muro, do qual o pé 
da escada distava 70 cm. O pé afastou-se 80 cm de onde se encontrava. Quantos 
centímetros a parte superior da escada se deslocou para baixo? 
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	 19 
 
14. Os catetos de um triângulo retângulo medem 5 cm e 12 cm. Calcule o valor do 
seno de cada ângulo agudo desse triângulo. 
 
15. Determine o seno do ângulo agudo assinalado em cada caso. 
a. 
 
b. 
 
c. 
 
d. 
 
 
16. Os catetos de um triângulo medem 7 cm e 24 cm. Determine o valor do cosseno 
de cada ângulo agudo desse triângulo. 
 
17. Em cada caso são apresentadas medidas dos lados de um triângulo retângulo 
nos quais a representa a hipotenusa e b e c, os catetos. Determine o cosseno de 
cada um dos ângulos agudos, B e C, opostos, respectivamente, a b e a c. 
a. b = 3 cm e c = 4 cm 
b. a = 12 cm e b = 7 cm 
c. a = 25 m e b = 7 m 
d. a = 61 m e c = 60 m 
 
18. Seja o ângulo a tal que cos a = 3
7
. Determine sen a. 
 
19. Se b é ângulo agudo tal que sen b = 7
3
, quanto vale cos b? 
 
20. Num triângulo retângulo, os catetos medem 6 cm e 5 cm. Determine o valor da 
tangente de cada ângulo agudo desse triângulo. 
 
21. Se x é agudo