Qual a probabilidade de sair soma 9 num lançamento de um mesmo dado duas vezes?

Nessa aula veremos o que significa planificar um sólido geométrico, ou seja, trnasformar a figura 3D em 2D. Além disso, veremos o caminho contrário de transformar uma figura planificada em tridimensional.

Resposta Questão 1

O espaço amostral do lançamento de dois dados contém os seguintes pares de resultados:

(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6)
(2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6)
(3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6)
(4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6)
(5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6)
(6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)

a) Incorreta!
As combinações de números inferiores a três são: (1,1); (1,2); (2,1); (2,2). Assim, o número de elementos do evento é quatro e o número de elementos do espaço amostral é 36. A probabilidade de saírem dois números menores que três é de:

P =  4  = 1
      36    9

Aproximadamente, 11,11%.

b) Incorreta!
Evento é um conjunto de resultados possíveis. O lançamento de dois dados é um experimento aleatório.

c) Incorreta!
Como foi dito anteriormente, o espaço amostral possui 36 elementos.

d) Incorreta!
Os resultados possíveis em que os dois dados apresentam números ímpares somam nove possibilidades em 36 do espaço amostral. Portanto, a probabilidade é de:

P =   9   = 1
      36     4

Isto é, a probabilidade é igual a 25%.

e) Correta!
São seis os resultados possíveis nos quais os valores obtidos nos dados são iguais. Assim:

P =  6  = 1
      36    6

O que representa aproximadamente a 16,6%.

Gabarito: Letra E.

Teste seus conhecimentos sobre probabilidade com questões divididas por nível de dificuldade, que são úteis para o ensino fundamental e médio.

Aproveite as resoluções comentadas dos exercícios para tirar suas dúvidas.

Questões nível fácil

Questão 1

Ao jogar um dado, qual a probabilidade de obtermos um número ímpar voltado para cima?

Ver Resposta

Resposta correta: 0,5 ou 50% de chances.

Um dado possui seis lados, logo, a quantidade de números que podem ficar voltados para cima é 6.

Rafael Asth

Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.

Qual das três está certa?

Adaptado do PAPMEM, 2019.

Lembrete:

A probabilidade de um evento ocorrer em um modelo com espaço amostral finito e equiprovável é calculada por:

Solução

É claro que podemos definir o espaço amostral do experimento de "lançar dois dados equilibrados e idênticos e somar os pontos da duas faces voltadas para cima" como [tex]\Omega_1=\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}[/tex], já que não estamos interessados nos números propriamente ditos que aparecem nas duas faces e sim nas suas somas. O problema é que esse espaço não é equiprovável!
Observe que temos apenas uma maneira de obtermos soma [tex]2[/tex], saindo [tex]1[/tex] nos dois dados, e mais de uma maneira de obtermos soma [tex]5[/tex], saindo "[tex]1[/tex] e [tex]4[/tex]" e "[tex]2[/tex] e [tex]3[/tex]", entre outras possibilidades. Com isso, [tex]P(\{2\})\ne P(\{5\})[/tex] e [tex]\Omega_1[/tex] não é equiprovável. Dessa forma, não podemos utilizar a razão entre "casos favoráveis" e "casos possíveis" e, portanto, Cecília não está certa.

► Vamos agora acompanhar o raciocínio da Beatriz.

O espaço amostral definido pela Beatriz pode ser obtido a partir das possíveis combinações de resultados dos números mostrados nas duas faces voltadas para cima dos dados lançados.

[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Dados}&1&2&3&4&5&6\\
\hline
1&1\text{ e }1&1\text{ e }2&1\text{ e }3&1\text{ e }4&1\text{ e }5&1\text{ e }6\\
\hline
2&\xcancel{2\text{ e }1}&2\text{ e }2&2\text{ e }3&2\text{ e }4&2\text{ e }5&2\text{ e }6\\
\hline
3&\xcancel{3\text{ e }1}&\xcancel{3\text{ e }2}&3\text{ e }3&3\text{ e }4&3\text{ e }5&3\text{ e }6\\
\hline
4&\xcancel{4\text{ e }1}&\xcancel{4\text{ e }2}&\xcancel{4\text{ e }3}&4\text{ e }4&4\text{ e }5&4\text{ e }6\\
\hline
5&\xcancel{5\text{ e }1}&\xcancel{5\text{ e }2}&\xcancel{5\text{ e }3}&\xcancel{5\text{ e }4}&5\text{ e }5&5\text{ e }6\\
\hline\
6&\xcancel{6\text{ e }1}&\xcancel{6\text{ e }2}&\xcancel{6\text{ e }3}&\xcancel{6\text{ e }4}&\xcancel{6\text{ e }5}&6\text{ e }6\\
\hline
\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Dados}&1&2&3&4&5&6\\
\hline
1&1\text{ e }1&1\text{ e }2&1\text{ e }3&1\text{ e }4&1\text{ e }5&1\text{ e }6\\
\hline
2&&2\text{ e }2&2\text{ e }3&2\text{ e }4&2\text{ e }5&2\text{ e }6\\
\hline
3&&&3\text{ e }3&3\text{ e }4&3\text{ e }5&3\text{ e }6\\
\hline
4&&&&4\text{ e }4&4\text{ e }5&4\text{ e }6\\
\hline
5&&&&&5\text{ e }5&5\text{ e }6\\
\hline\
6&&&&&&6\text{ e }6\\
\hline
\end{array}[/tex]

Temos, de fato, [tex]21[/tex] casos possíveis, mas o espaço amostral da Beatriz não é equiprovável!
Observe que a hipótese de que os dois dados são equilibrados nos garante que o experimento em questão é aleatório, ou seja, nenhuma das faces tem mais chance de sair em um ou em outro dado. Por outro lado, o fato de os dados serem idênticos, ou terem cores diferentes, ou um deles ter uma marquinha em uma de suas faces vai alterar o experimento e as maneiras de obtermos soma [tex]7[/tex]? NÃO!
Assim, por exemplo,
▬ temos apenas uma maneira de obtermos [tex] 1 \text{ e }1[/tex]: [tex]1[/tex] no primeiro dado e [tex]1[/tex] no segundo dado;
▬ mas temos duas maneiras de obtermos [tex] 1 \text{ e }2[/tex]: [tex]1[/tex] no primeiro e [tex]2[/tex] no segundo dado e [tex]2[/tex] no primeiro e [tex]1[/tex] no segundo dado. (Pense em um dos dados com uma marquinha; são situações diferentes que ocorrem: [tex]1[/tex] no dado com marquinha e [tex]2[/tex] no outro dado e [tex]2[/tex] no dado com marquinha e [tex]1[/tex] no outro.)
Assim, Beatriz também não está certa.

► Vamos agora acompanhar o raciocínio da Ana:

Podemos definir o espaço amostral do experimento a partir da tabela abaixo, na qual aparecem pares ordenados formados por todas as possíveis combinações de resultados dos números mostrados nas duas faces voltadas para cima.

Qual a probabilidade de sair a soma 9 no lançamento de dois dados?

Qual a probabilidade de jogar o dado duas vezes?

Qual é a chance de sair dois números iguais no lançamento de dois dados?

Qual a probabilidade de sair a soma 8 no lançamento de dois dados?