Qual é o valor da soma dos ângulos internos de um triângulo convexo?

Um polígono é uma figura geométrica formada por segmentos de reta. Essa figura é fechada e nenhum desses segmentos de reta encontra-se a não ser em suas extremidades. Quando o polígono é convexo, é possível descobrir a soma dos seus ângulos internos sem ter que medi-los. Isso é feito por meio de uma fórmula matemática.

Polígono convexo

Um polígono é convexo quando o segmento de reta cujas extremidades são pontos do interior do polígono está inteiramente dentro dele. Em outras palavras, alguns polígonos possuem uma espécie de “boca”, de modo que é possível escolher dois de seus pontos e ligá-los por um segmento de reta que não está inteiramente dentro do polígono. Esses são os chamados não convexos.

Observe a imagem a seguir que mostra um polígono convexo à esquerda e um não convexo à direita.

Soma dos ângulos internos

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°. Tendo isso em mente, podemos pensar em dividir os polígonos convexos em triângulos. Se um polígono pode ser dividido em três triângulos, por exemplo, a soma dos seus ângulos internos é igual a 3 vezes 180.

Para tanto, é preciso criar uma divisão em que a soma dos ângulos dos triângulos seja igual à soma dos ângulos dos polígonos.

É fácil ver que, se escolhermos um vértice de um polígono, as suas diagonais formarão triângulos que cumprem esse pré-requisito. Observe a imagem a seguir:

Essa figura é um hexágono. Repare que, partindo de um mesmo vértice, é possível dividi-lo em quatro triângulos. Para qualquer figura, sempre será possível encontrar n – 3* diagonais partindo do mesmo vértice e, consequentemente, serão formados n – 2* triângulos nesse processo (*n = número de lados do polígono).

Como já foi dito, a soma dos ângulos internos de um polígono é igual ao número de triângulos formados dentro dele multiplicado por 180°. Logo, a soma dos ângulos internos de um polígono convexo é:

S = (n – 2)180°

Exemplos:

• Qual a soma dos ângulos internos de um icoságono convexo?

Os icoságonos são polígonos que possuem 20 lados. A soma dos ângulos internos é:

S = (n – 2)180

S = (20 – 2)180

S = 18·180

S = 3280°

• Qual é a medida de cada ângulo interno de um icoságono regular?

Polígonos regulares possuem ângulos congruentes. Assim, já sabendo que a soma dos ângulos internos do icoságono é 3280°, cada ângulo dele é igual a:

3280 = 162°
20           

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto:

Um triângulo é uma figura geométrica que possui três lados, três ângulos e três vértices. Os triângulos possuem diversas propriedades, uma delas diz respeito aos seus ângulos internos: independentemente das dimensões do triângulo, do seu formato, do comprimento de seus lados ou da medida de seus ângulos internos, a soma desses ângulos internos sempre será igual a 180°.

Em outras palavras, se ABC é um triângulo, e a, b e c são seus ângulos internos, como podemos exemplificar com a imagem a seguir:

Então, podemos escrever corretamente a soma:

a + b + c = 180°

Geralmente, essa igualdade não é usada para descobrir que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, mas sim para determinar a medida de um dos ângulos internos de um triângulo, quando as medidas dos outros dois são conhecidas.

Exemplo: Qual a medida do terceiro ângulo interno de um triângulo que possui dois ângulos internos iguais a 30° e a 90°?

Solução:

30° + 90° + x = 180°
x = 180° – 30° – 90°
x = 60°

O terceiro ângulo mede 60°.

Demonstração

Considere o triângulo ABC, com ângulos a, b e c, como o da figura a seguir:

Construa sobre o ponto C uma reta paralela ao lado AB desse triângulo.

Reta paralela ao lado AB no triângulo ABC

Observe que os lados AC e BC podem ser encarados como retas transversais, que cortam as duas retas paralelas. Os ângulos x e y formados nessa construção são, respectivamente, alternos internos com os ângulos a e b. Assim, x = a e y = b.

Agora, note que a soma x + c + y = 180°, pois os três ângulos são adjacentes e seus limites são a reta paralela ao lado AB. Assim, substituindo os valores de x e y, teremos:

a + b + c = 180°

Exemplos:

1º Exemplo – Determine a medida de cada um dos três ângulos internos do triângulo a seguir.

Solução:

Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, basta fazer:

x + 2x + 3x = 180°
6x = 180°
x = 180°
     6
x = 30°

Como os ângulos internos são múltiplos de x, cada um deles mede:

x = 30°,
2x = 60° e
3x = 90°

2º Exemplo – Um triângulo tem um de seus ângulos internos com a medida exatamente igual ao triplo das medidas dos outros dois, que são congruentes. Quanto mede cada um dos ângulos internos desse triângulo?

Solução:

Para resolver esse problema, considere que os dois ângulos congruentes medem x e o outro ângulo mede 3x. Como a soma dos ângulos internos é igual a 180°, teremos:

x + x + 3x = 180°
5x = 180°
x = 180°
      5
x = 36°.

Como x é a medida dos dois ângulos congruentes, já sabemos que eles medem 36°. O terceiro ângulo é o triplo disso, portanto, mede:

3x = 3·36 = 108°

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