Questão 5 Show (IBMEC-04) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual: a) a diferença dos quadrados dos dois números. b) a soma dos quadrados dos dois números. c) a diferença dos dois números. d) ao dobro do produto dos números. e) ao quádruplo do produto dos números. Respostas Resposta Questão 1 Podemos resolver esses produtos notáveis através da seguinte ideia: “O primeiro termo elevado ao quadrado mais (ou menos) o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.” a) (x + y)2 = x2 + 2.x.y + y2 b) (2a + b)2 = (2a)2 + 2.2a.b + b2 = 4a2 + 4ab + b2 c) (x – 5y)2 = x2 – 2.x.5y + (5y)2 = x2 – 10xy + 25y2 d) (3 – a3)2 = 32 – 2.3.a3 + (a3)2 = 9 – 6a3 + a6 Resposta Questão 2 Utilizando o princípiodo quadrado da soma, temos que: (x + y)² = x² + 2.x.y + y² Podemos reescrever essa igualdade da seguinte forma: (x + y)² = x² + y² + 2.x.y Sabemos que x² + y² = 20 e xy = 3, substituindo esses valores na igualdade acima, temos: (x + y)² = 20 + 2.3 Portanto, (x + y)² = 26. Resposta Questão 3 a) (3m + n)² + 2n² Desenvolvendo o produto notável, temos: (3m + n)² + 2n² Portanto, (3m + n)² + 2n² = 9m² + 6mn + 3n² b) (2a + 2b)² – a.(a – 2b) Desenvolvendo o produto notável e aplicando a propriedade distributiva, temos: (2a +
2b)² – a.(a – 2b) Portanto, (2a + 2b)² – a.(a – 2b) = 3a² + 10ab + 4b² Resposta Questão 4 A fim de fazer aparecer Aplicando a propriedade do quadrado da soma, temos: b² = x² + 2.x. 1 + 1² Portanto: x² + 1 = b² – 2 Resposta Questão 5 Para resolver o exercício, vamos considerar x e y como reais. O quadrado da soma de x e y é representado por (x + y)2e o quadrado da diferença é representado por (x – y)2. A diferença entre eles pode ser feita da seguinte forma: (x + y)2 – (x – y)2 Desenvolvendo o quadrado da soma e da diferença através das propriedades de produtos notáveis, teremos: x2 + 2xy + y2 – (x2 – 2xy + y2) A alternativa correta é a (e), pois, desenvolvendo a diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números x e y, obtivemos 4xy, isto é, o quádruplo do produto dos números. Resposta Questão 6 a) o produto dos dois números Se x e y são números positivos, a soma de seus quadrados é 4: x² + y² = 4 A soma dos inversos de seus quadrados é 1: 1 +
1 = 1 Tirando o mínimo múltiplo comum do primeiro membro da equação, teremos: y² + x² = 1 Passando o x2.y2 para o segundo membro da equação, teremos: y² + x² = x².y² Que é o mesmo que escrevermos: (x.y)² = y² + x² Mas x² + y² = 4, então: (x.y)² = 4 Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da equação, teremos: √(x.y)² = √4 Portanto, o produto de x e y é 2. b) a soma dos dois números Chamemos de n a soma de x e y, isto é: n = x + y Se elevarmos ao quadrado ambos os lados da equação, teremos: n² = (x + y)² Aplicando a propriedade do quadrado da soma no segundo lado da igualdade, teremos: n² = x² + 2xy + y² Podemos organizar o segundo membro da equação convenientemente da seguinte forma: n² = 2xy + (x² + y²) Não conhecemos o valor de x e de y, mas sabemos que x.y = 2 e x2 + y2 = 4, portanto: n² = 2.2 + (4) Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da equação, teremos: √n² = √8 A soma dos dois números é 2√2. O que é diferença de dois termos?Podemos tirar uma regra para esse produto: “O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo mais o quadrado do segundo termo”.
O que é produto da diferença?Quando multiplicamos valores, o resultado dessa multiplicação é chamado produto. Concluímos que . Diferença está relacionada à subtração. Da mesma forma que o produto é resultado de uma multiplicação, a diferença é o resultado quando realizamos uma operação de subtração.
O que é produtos notáveis quadrado da soma de dois termos?O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
O que é o quadrado da diferença de dois termos?Quadrado da diferença (a – b)²
“O primeiro termo elevado ao quadrado menos o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.”
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