Quando temos uma força que tem um sentido oposto ao deslocamento Temos um trabalho positivo ou negativo?

A figura abaixo mostra a força F x que atua sobre urna partícula de 0,500 kg. (a) Do gráfico, calcule o trabalho realizado pela força enquanto a partícula se move de x = 0,00 até os seguintes valores de x: -4,00, -3,00, -2,00, -1,00, +1,00, +2,00, +3,00, e +4,00. (b) Se a partícula parte com uma velocidade de 2,00 m/s no sentido +x, até onde ela viajará ao longo deste eixo até parar?

Passo 1

Letra (a)

O trabalho é igual à área embaixo do gráfico F x versus posição x. Que é o nosso caso! Então a gente precisa achar a área abaixo do nosso gráfico entre x = 0 e cada ponto que ele pede.

Para achar a área, não vamos integrar, porque não temos função para integrar. Vamos dividir a área abaixo do gráfico em formas mais simples de calcular a área. Podemos usar triângulos e retângulos.

Para x = - 4   m. Percebe que a força nesse intervalo tem valores positivos mas o deslocalmento foi negativo (saiu de 0 para - 4). Ou seja, a força está no sentido oposto do deslocamento, por isso temos trabalho negativo.

Calculando a área abaixo do gráfico no intervalo 0,4 , vemos que temos 3 triângulos de altura 2 e base 1, e temos 4 retângulos de altura 2 e base 1. A área fica:

A = 3 2 × 1 2 + 4 2 × 1 = 11

Assim o trabalho fica:

W = - 11   J

Passo 2

Vamos fazer o mesmo para x = - 3. Aqui temos trabalho negativo também porque o deslocamento é negativo e a força é positiva.

Calculando a área abaixo do gráfico no intervalo 0 , 3 , vemos que temos 2 triângulos de altura 2 e base 1, e temos 4 retângulos de altura 2 e base 1. A área fica:

A = 2 2 × 1 2 + 4 2 × 1 = 1 0

Assim o trabalho fica:

W = - 10   J

De forma análoga, para x = - 2 o trabalho é negativo. Calculando a área de forma semelhante achamos A = 7, assim:

W = - 7

E para x = - 1 também temos trabalho negativo que vale:

W = - 3

Passo 3

Agora para x = 1, trabalho vai ser positivo porque o deslocamento nesse caso é positivo e a força também.

A área é um triângulo:

A = 1 2 × 2 = 1   J

Assim:

W = 1   J

Mas agora repara que para x = 2, x = 3 e x = 4 vamos ter uma situação diferente porque a força muda de sinal durante o deslocamento. Aí o que a gente faz? Como o deslocamento é positivo, o trabalho vai ter sinal igual ao da força.

Então o que a gente pode fazer é dar sinal positivo para a área acima do eixo horizontal onde F x > 0 e sinal negativo para F x < 0. Somando achamos o trabalho com o sinal certinho dele.

Para x = 2, temos no intervalo 0,2 um triângulo acima do eixo horizontal e um triângulo abaixo do eixo. Então o trabalho fica:

W = 2 × 1 2 - 2 × 1 2 = 0   J

Pesando parecido para x = 3:

W = 2 × 1 2 - 2 × 1 2 - 2 × 1 = - 2 J

E para x = 4:

W = 2 × 1 2 - 2 × 1 2 - 2 × 1 - 2 × 1 2 = - 3 J

Colocando tudo que a gente achou numa tabelinha:

Passo 4

Letra (b)

Então a gente quer saber o quanto a partícula viaja até parar, ou seja, até termos v = 0.

Se a rapidez dela é zero no repouso, a energia cinética também. Então podemos dizer que queremos saber onde sua energiua cinética zera depois que ela sai da origem indo no sentido positivo, já que sua velocidade na origem é positiva.

Cara, falou de trabalho e rapidez no mesmo contexto, cê pensa logo no teorema do trabalho-energia cinética. Olha a expressão dele:

W t o t a l = E c f - E c 0

Isso diz que o trabalho total feito em uma partícula é igual à variação de energia cinética. No nosso caso, a energia cinética final é nula, então:

W t o t a l = - E c 0

Passo 5

No ponto inicial, em x = 0, a energia cinética é:

E c = 1 2 m v 2

Ele dá a velocidade e a massa da partícula nesse ponto, então podemos substituir:

E c 0 = 1 2 0,5 2 2 = 1   J

O teorema fica:

W t o t a l = - E c 0

W t o t a l = - 1   J

Passo 6

Agora a gente precisa ver até que ponto no sentido positivo temos o trabalho total de W = - 1 J.

Percebe que no intervalo 0,2 temos um trabalho total de W = 0   J. Já no intervalo 2,3 a área abaixo do gráfico nos dá um trabalho de W = - 2   J. Como temos uma variação linear da força, na metade de 2,3 , em x = 2,5   m, vamos ter W = - 1   J.

Aí repara que se 0,2 dá W = 0   J e que 2 ,     2.5 dá W = - 1   J, o trabalho total no intervalo 0 ,     2.5 vai ser

W = - 1 J

Que é o trabalho que indica que a partícula parou!

Então ela para em x = 2,5   m.

Resposta

Letra (a):

Letra (b): x = 2,5   m

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