Quantas duplas distintas podem ser formadas com um grupo de 10 pessoas?

Dando continuidade ao estudo da Análise Combinatória, vamos aprender a definição e a utilização da fórmula da combinação simples.

O assunto exige muita atenção do estudante e o ideal é que já tenha conhecimento acerca do cálculo do fatorial de um número natural.

Bom estudo!

O que é uma combinação simples?

Combinação simples é um agrupamento dos elementos distintos de um conjunto finito, onde a ordem é irrelevante.

Exemplo 1:

Em uma sala de aula existem 5 alunos que jogam vôlei (Antônio, Bernardo, Carlos, Davi e Elias).

A escola está promovendo um torneio interclasse de vôlei de areia, onde participam apenas dois jogadores.

Vamos listar as duplas que podem ser formadas escolhendo entre os 5 alunos citados:

• Antônio e Bernardo
• Antônio e Carlos
• Antônio e Davi
• Antônio e Elias
• Bernardo e Carlos
• Bernardo e Davi
• Bernardo e Elias
• Carlos e Davi
• Carlos e Elias
• Davi e Elias

Nota-se que podem ser formadas 10 duplas distintas a partir de um conjunto de 5 alunos.

Mas o mais importante a ser observado é que a dupla Antônio e Bernardo é igual a dupla Bernardo e Antônio, ou seja, a ordem é irrelevante.

Definição formal

Dado um conjunto A com uma quantidade n de elementos distintos, chamamos de combinação simples dos n elementos de A, tomados k a k, a qualquer subconjunto de A formado por k elementos.

Analisando o exemplo das duplas de vôlei, temos n = 5 e k = 2.

Fórmula

O exemplo utilizado para introduzir o conteúdo foi escolhido por ser possível listar rapidamente todas as possibilidades, porém existem casos onde listar todas as combinações poderia ser inviável.

Aprenderemos a utilizar a fórmula para calcular o número de combinações simples. Veja:

Onde:

Cn,k = quantidade de combinações simples

n = quantidade de elementos do conjunto

k = quantidade de elementos por arranjo

n ≥ k

Exemplo 2:

Uma pizzaria trabalha no formato “monte sua pizza”, onde o cliente pode escolher 9 entre 15 coberturas diferentes, de acordo com o seu gosto. Quantas pizzas diferentes é possível montar neste formato?

Veja que temos que escolher 9 entre 15 sabores, sendo que pouco importa a ordem das coberturas, ou seja, temos que calcular a quantidade de combinações de 15 elementos, tomados 9 a 9.

Utilizando a fórmula de combinações:

Exemplo 3:

Uma classe com 40 alunos deseja escolher 4 deles para formar uma comissão de formatura. Quantas comissões diferentes podem ser formadas?

Veja que pouco importa quem será escolhido primeiro, ou seja, temos que calcular a quantidade de combinações de 40 alunos, tomados 4 a 4.

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