Estude com os exercícios de Geometria Espacial com resposta. Questões sobre sólidos geométricos como: poliedros, cilindros e circunferências comentadas e resolvidas. Show Questão 1Qual o volume e a área superficial total de um paralelepípedo reto com dimensões de 5 cm, 7 cm e 9 cm? Ver Resposta Resposta: volume 315 cm³ e área 286 cm² Cálculo do volume Um paralelepípedo reto é também um prisma de base retangular. Como todo prisma, seu volume é dado pelo produto (multiplicação), entre a área da base e a altura. Sendo a base um retângulo, para calcular a área, basta multiplicar duas medidas. Desta forma, para calcular o volume, multiplicam-se as três dimensões.  O número mínimo de bolinhas necessárias para que se possa retirar o objeto que flutua na água, seguindo as instruções dadas, é de a) 14. Ver Resposta Resposta: 14. Para saber o número de bolinhas dividimos o volume adicional necessário pelo volume de cada bolinha. Passo 1: determinar o volume adicional necessário para o nível alcançar 15 cm de altura. Como o nível está em 8 cm, para chegar a 15 cm, faltam 7 cm. Este volume é formado por um prisma quadrangular (paralelepípedo) como medidas de: 7 cm, 4 cm e 3 cm. O volume é: Rafael C. Asth Professor de Matemática, licenciado e pós-graduado em ensino da Matemática e da Física. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021. Bola de futebol vcie mok from EMFoco Mat e cultura popular from EMFoco A EmpresaLajes Contim fabrica lajes pre moldadas, Treliçadas e Pré Fabricadas em Belo Horizonte, Contagem e Betim. A EmpresaSediada na grande BH, a LAJES CONTIM vem atuando há mais de 18 anos no mercado de premoldados. Fundada no ano de 1989, sempre priorizando a satisfação dos clientes, buscamos o aprimoramento constante na área de qualidade e segurança na fabricação dos produtos e nos serviços prestados, sem deixar de cumprir os compromissos assumidos. Os fulerenos são uma forma alotrópica do Carbono, foram descobertos acidentalmente em 1985 por três químicos, que posteriormente ganhariam o prêmio Nobel de Química por essa descoberta, foram eles:
Harold W. Kroto, Robert F. Curl e Richard E. Smalley, inicialmente essa estrutura molecular foi batizada de Buckminsterfulereno ($C_{60}$). Note que essa estrutura molecular possui exatamente 60 átomos de carbono, então guarde bem essa informação: O Fulereno $C_{60}$ possui 60 átomos em sua composição. Abaixo temos uma representação tridimensional dessa estrutura, note a semelhança da mesma com uma bola de futebol. Aqui vem um fato bem legal: Na construção de uma bola de futebol são necessários 12 pentágonos e 20 hexágonos. Isso quer dizer que, não importa o tamanho da bola, se a mesma for construída na forma abaixo, precisaremos de exatamente 12 pentágonos e 20 hexágonos, mas agora vem a palavra crucial: POR QUÊ? A resposta para esse fato encontrasse na topologia do objeto, já sabemos que em todo poliedro convexo vale a relação de Euler: $$V-A+F=2,$$ onde $V$ é o número de vértices, $A$ o número de arestas e $F$ o número de faces do poliedro. Você pode afirmar: -Tudo bem, isso vale para poliedros, mas a bola de futebol é redonda, não tem vértices ou lados e só uma face, o que podemos concluir? Bem, a relação acima na verdade é um caso particular para uma relação mais geral, trata-se da característica de Euler $\chi$. Vamos nos ater a dimensão 2, a característica de Euler de uma superfície compacta é um invariante topológico, isso quer dizer que a característica de Euler de uma superfície é preservada por qualquer homeomorfismo. Topologicamente duas superfícies são homeomorfas se conseguirmos exibir uma aplicação que seja contínua, invertível e sua inversa seja contínua. Podemos visualizar isso na ilustração abaixo: A mesma coisa ocorre entre uma bola de futebol e sua representação geométrica: Chamamos o sólido acima de Icosaedro Truncado, para transformar o icosaedro truncado em uma bola de futebol basta ter fôlego, ou seja, basta inflar esse objeto até que ele fique redondo, pela observação anterior a característica de Euler da bola de futebol e do icosaedro são as mesmas, pois a ação de "inflar" o objeto pode ser modela através de um homeomorfismo. De fato, basta considerar o icosaedro centrado na origem do espaço $\mathbb{R}^3$ (o ponto $(0,0,0)$ deve estar no interior do sólido) e aplicar a transformação $T:S\to\mathbb{S}^2(r)$, definida por $T(x)=\dfrac{rx}{|x|}$. O leitor mais familiar com topologia pode verificar que essa aplicação é um homeomorfismo. Em postagens futuras abordarei mais detalhadamente esses conceitos de característica, homeomorfismos e outros temas relacionados a topologia. Voltemos ao nosso problema: calcular exatamente quantos pentágonos e hexágonos uma bola de futebol possui. Ora, seja $P$ o número de pentágonos e $H$ o número de hexágonos na bola.
Agora basta olhar para a relação de Euler $$V-A+F=2$$ e substituir as quantidades encontradas anteriormente, temos $$\frac{5P+6H}{3}-\frac{5P+6H}{2}+P+H=2.$$ Multiplicando essa igualdade por 6 obtemos $$10P+12H-15P-18H+6P+6H=2.$$ Efetuando as somas necessárias temos que $$P=12.$$ Ou seja, o número de pentágonos deve ser igual a 12. Agora perceba que cada pentágono possui 5 hexágonos ao seu redor e cada hexágono é contado 3 vezes nessa conta (basta olhar para a forma da bola), logo o número de hexágonos será $$H=\frac{12\cdot 5}{3}=20.$$ Assim, o número de hexágonos será 20. Agora, note que o número de vértices nesse sólido será $$V=\frac{5P+6H}{3}=\frac{5\cdot 12+6\cdot 20}{3}=\frac{60+120}{3}=\frac{180}{3}=60.$$ Logo temos 60 vértices nessa estrutura, assim como no Fulereno, ele possui exatamente 60 átomos de carbono em sua composição, isso quer dizer que, embora que os químicos descobriram essa molécula acidentalmente, a natureza já conhecia topologia suficiente para determinar a existência de Fulerenos com 60 átomos. Incrível não é? É isso pessoal, vou ficando por aqui, mas em breve teremos mais postagens relacionadas com topologia e outras curiosidades. Quantos polígonos tem uma bola de futebol?A bola de futebol usada atualmente é a de 32 gomos, sendo composta de 20 hexágonos e 12 pentágonos, porque são as figuras que têm melhor forma de encaixe para formar a bola redonda e o formato mais econômico para o corte dos gomos.
Qual o nome dos polígonos que aparecem na bola de futebol?Icosaedro Truncado – No caso do icosaedro regular, as 32 faces do icosaedro truncado são formadas por 12 pentágonos regulares e 20 hexágonos regulares. Cada um dos 60 vértices do icosaedro truncado é formado pela junção de 1 pentágono e 2 hexágonos, o que resulta ao sólido o total de 90 arestas.
Quais são os 3 principais elementos de um poliedro?A união desses polígonos forma elementos que compõem o poliedro, são eles: vértices, arestas e faces. No entanto, nem toda figura tridimensional é um poliedro, um exemplo disso são as figuras que possuem faces curvas chamadas de corpos redondos.
Quantas faces hexagonais tem uma bola de futebol?Na copa mundial de 1970 o mundo do futebol começou a utilizar uma bola confeccionada com pentágonos e hexágonos. Esta estrutura poliédrica chama-se icosaedro truncado, e é constituída de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais.
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Quantos polígonos são necessários para construir um poliedro bola de futebol
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