A distância entre dois pontos é determinada pela Geometria Analítica, responsável por estabelecer relações entre fundamentos geométricos e algébricos. As relações são intituladas com base num sistema de coordenadas cartesianas, que é constituído de dois eixos perpendiculares enumerados. Show
No plano cartesiano, qualquer ponto possui uma coordenada de localização, basta identificar o ponto e observar os valores primeiramente em relação ao eixo horizontal x (abscissa) e posteriormente em relação ao eixo vertical y (ordenada). Nesse sistema de coordenadas podemos demarcar dois pontos e determinar a distância entre eles. Observe: Observe que o triângulo formado é retângulo de catetos AC e BC e hipotenusa AB. Se aplicarmos o Teorema de Pitágoras nesse triângulo determinando a medida da hipotenusa estaremos também calculando a distância entre os pontos A e B. Vamos aplicar as propriedades da relação de Pitágoras no triângulo ABC, originando a expressão matemática responsável pela determinação da distância entre dois pontos em função de suas coordenadas. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) O Teorema de Pitágoras diz: “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. No triângulo ABC temos que: Cateto AC = x2 – x1 Exemplo 1 Qual a distância entre os pontos P(3, –3) e Q(–6, 2)? A distância entre os pontos P e Q é igual a √106 unidades. Exemplo 2 Determine a distância entre os pontos A(10, 20) e B(15, 6), localizados no sistema de coordenadas cartesianas. Os pontos A e B se distanciam um do outro √221 unidades.
AjudaPara calcular a distância entre os pontos A e B basta seguir os seguintes passos:
Calculadora de distância entre dois pontos A (xa; ya) e B (xb; yb). Os cookies nos ajudam a criar uma boa experiência. Ao utilizar o nosso site, você concorda com o uso de cookies. A distância entre dois pontos é a medida do segmento de reta que os une. Podemos fazer o cálculo dessa medida usando a Geometria Analítica. Distância entre dois pontos no planoNo plano, um ponto fica totalmente determinado conhecendo um par ordenado (x, y) associado a ele. Para conhecer a distância entre dois pontos, iremos inicialmente representá-los no plano cartesiano, para então calcular essa distância. Exemplos: 1) Qual a distância entre o ponto A (1,1) e o ponto B (3,1)? d(A,B) = 3 - 1 = 2 2) Qual a distância entre o ponto A (4,1) e o ponto B (1,3)? Note que a distância entre o ponto A e o ponto B é igual a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos 2 e 3. Assim, usaremos o teorema de Pitágoras para calcular a distância entre os pontos dados. [d(A,B)]2 = 32 + 22 = √13 Fórmula da distância entre dois pontos no planoPara encontra a fórmula da distância, podemos generalizar o cálculo feito no exemplo 2. Para dois pontos quaisquer, tais como A (x1,y1) e B (x2, y2), temos: Para saber mais, leia também:
Distância entre dois pontos no espaçoUsamos um sistema de coordenadas tridimensional para representar pontos no espaço. Um ponto fica totalmente determinado no espaço quando existe uma tripla ordenada (x,y,z) associado a ele. Para encontrar a distância entre dois pontos no espaço, inicialmente podemos representá-los no sistema de coordenadas e a partir daí, efetuar os cálculos. Exemplo: Qual a distância entre o ponto A (3,1,0) e o ponto B (1,2,0)? Nesse exemplo, observamos que o ponto A e B pertencem ao plano xy. A distância será dada por: [d(A,B)]2 = 12 + 22 = √5 Fórmula da distância entre dois pontos no espaçoPara saber mais, leia também:
Exercícios Resolvidos1) Um ponto A pertence ao eixo das abscissas (eixo x) e é equidistante dos pontos B (3,2) e C (-3,4). Quais são as coordenadas do ponto A? Ver Resposta Como o ponto A pertence ao eixo das abscissas então sua coordenada é (a,0). Assim temos que encontrar o valor de a. (0 - 3)2 + (a - 2)2 = (0 + 3)2 + (a -4)2 2) A distância do ponto A (3,a) ao ponto B (0,2) é igual a 3. Calcule o valor da ordenada a. Ver Resposta 32 = (0 - 3)2 + (2 - a)2 3) ENEM - 2013 Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano: A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas a) (65 ; 35) Ver Resposta Alternativa correta e: (50;30) Veja também: exercícios sobre distância entre dois pontos 4) ENEM - 2011 Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse
bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões
da cidade. a) (-5,0) Ver Resposta Alternativa correta b: (-3,1). Veja também: exercícios sobre Geometria Analítica Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011. O que distância entre dois pontos?A distância entre dois pontos é a medida do segmento de reta que os une. Podemos fazer o cálculo dessa medida usando a Geometria Analítica.
Como calcular a distância?A partir desses dados, é possível calcular a distância pela qual o objeto se deslocou através da fórmula d (distância) = v (velocidade) × t (tempo de deslocamento).
Como calcular a distância entre ponto?A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à reta através de um segmento, que deverá formar com a reta um ângulo reto (90º). Para estabelecer a distância entre os dois necessitamos da equação geral da reta e da coordenada do ponto.
Como calcular distância de 2 pontos?Dados os pontos A(xA, yA) e B (xB, Yb), para calcular a distância entre esses dois pontos, utilizamos a fórmula dAB² = (xB – xA)² + (yB – yA)².
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