Como calcular a soma dos ângulos internos e externos de um polígono convexo?

Respostas

Resposta Questão 1

Independentemente do polígono a que o exercício ou situação se refira, a soma dos seus ângulos internos tem valor fixo e é dada pela fórmula S = (n – 2)·180, em que n é o número de lados do polígono. Logo,

Soma dos ângulos internos do triângulo:

S = (3 – 2)·180

S = 1·180

S = 180°

Qualquer que seja o triângulo, a soma de seus ângulos internos sempre será igual a 180°. Isso pode ser usado quando conhecemos as medidas de dois dos ângulos internos de um triângulo e é necessário calcular o valor da última.

Soma dos ângulos internos de um retângulo:

S = (4 – 2)·180

S = 2·180

S = 360°

Não só retângulos, mas qualquer que seja o quadrilátero, a soma de seus ângulos internos será 360°.

Resposta Questão 2

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é dada por:

S = (n – 2)·180

Sabendo que o número de lados da figura é 4, basta substituir n por 4:

S = (4 – 2)·180

S = 2·180

S = 360°

Agora some os ângulos internos dessa figura e iguale o resultado a 360°:

2x + 4x + 2x + 4x = 360

12x = 360

x = 360
     12

x = 30

Agora basta substituir x em cada ângulo para descobrir os seus valores.

4x = 4·30 = 120° e

2x = 2·30 = 60°

Os ângulos são 120° e 60°.

Resposta Questão 3

Na ponta da estrela onde está destacado o ângulo θ, temos o encontro de três ângulos internos de pentágonos regulares. Para descobrir a medida de cada um desses ângulos, basta calcular a soma dos ângulos internos do pentágono e dividir por 5.

A fórmula para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono é:

S = (n – 2)·180

*n é o número de lados do polígono. No caso desse exercício:

S = (5 – 2)·180

S = 3·180

S = 540

Dividindo a soma dos ângulos internos por 5, pois um pentágono possui cinco ângulos internos, encontraremos 108° como medida de cada ângulo interno.

Observe na imagem anterior que a soma de três ângulos internos do pentágono com o ângulo θ tem como resultado 360°.

108 + 108 + 108 + θ = 360

324 + θ = 360

θ = 360 – 324

θ = 36°

Letra D.

Resposta Questão 4

Heptágonos são figuras geométricas que possuem sete lados, sete vértices e sete ângulos. Como esse heptágono é regular, então todos os seus ângulos e lados possuem a mesma medida.

A soma dos ângulos internos do heptágono é:

S = (n – 2)·180

S = (7 – 2)·180

S = 5·180

S = 900°

Cada ângulo interno do heptágono regular mede a soma dos ângulos internos dividida por 7.

900 = 128,57
7             

Agora, resta apenas descobrir o valor de um ângulo externo. Os ângulos externos de um polígono são suplementares aos ângulos internos respectivos. Portanto, a soma entre um ângulo interno e seu ângulo externo tem como resultado 180°. Dessa forma, os ângulos externos da moeda de 25 centavos medem:

128,57 + x = 180

x = 180 – 128,57

x = 51,43°

Letra E.

Em um polígono, um ângulo interno é aquele formado por dois lados consecutivos: 

ou seja, o vértice de um ângulo interno coincide com o vértice do polígono. Na figura acima, temos destacado o ângulo \(A\hat{B}C\).

Já um ângulo externo é aquele se forma quando prolongamos um dos lados do polígono. Por exemplo, tomando a figura anterior, ao se prolongar o lado \(\bar{BC}\), formamos o seguinte ângulo do lado de fora:

Note que um ângulo interno junto com o seu ângulo externo são sempre suplementares, isto é, a soma de suas medidas vale 180º:

$$A\hat{B}C+A\hat{B}G=180º$$

Por exemplo, no triângulo abaixo, temos um ângulo interno de 70º:

ao se prolongarmos um dos lados desse ângulo, obtemos seu ângulo externo, cuja medida é de 110º pois, 110º+70º=180º.

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Confira as fórmulas para calcular a soma dos ângulos de um polígono convexo. Entenda essas fórmulas e veja exemplos!

Publicado em 04/12/2020 - 17:04

Os polígonos convexos são aqueles que não possuem concavidade. Para perceber se um polígono é ou não convexo, devemos observar se qualquer segmento de reta com extremidades na figura não passa pela região externa.

Nos polígonos convexos, existem fórmulas que permitem determinar a soma dos ângulos internos e externos. Confira!

Soma dos ângulos internos de um polígono convexo

A fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é:

Demonstração:

Se observarmos, veremos que todo polígono convexo pode ser dividido em uma certa quantidade de triângulos. Veja alguns exemplos:

Então, lembrando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180°, podemos ver que a soma dos ângulos internos nessas figuras acima será dada pela número de triângulos que a figura pôde ser dividida vezes 180°:

• Quadrilátero: 2 triângulos ⇒ 
• Pentágono: 3 triângulos   ⇒  
• Hexágono: 4 triângulos    ⇒  

Então, para obter uma fórmula para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono convexo, só precisamos saber, de modo geral, em quantos triângulos um polígono convexo pode ser dividido.

Se observarmos, há uma relação entre essa quantidade e o número de lados das figuras. O número de triângulos é igual ao número de lados da figura menos 2, ou seja:

• Quadrilátero: 4 lados ⇒ n – 2 = 4 – 2 = 2 
• Pentágono: 5 lados   ⇒ n – 2 = 5 – 2 = 3
• Hexágono: 6 lados    ⇒ n – 2 = 6 – 2 = 4

Assim, de forma geral, a soma dos ângulos internos de um polígono convexo é dada por:

Que é a fórmula que queríamos demonstrar.

Exemplo:

Determine a soma dos ângulos internos de um icoságono convexo.

Um icoságono é um polígono de 20 lados, ou seja, n = 20. Vamos substituir esse valor na fórmula:

Portanto, a soma dos ângulos internos de um icoságono convexo é igual a 3240°.

Soma dos ângulos externos de um polígono

A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°, ou seja:

Demonstração:

Vamos demonstrar com exemplos que a soma dos ângulos externos de um polígono convexo não depende da quantidade de lados da figura e é sempre igual a 360°.

Quadrilátero:

Ou seja:  

Logo:

Uma vez que , então:

Pentágono:

No pentágono, temos 5 vértices, assim a soma de todos os ângulos é dada por 5 . 180° = 900°. Logo: . Então: . Uma vez que , então: .

Hexágono:

No hexágono, temos 6 vértices, assim a soma de todos os ângulos é dada por 6 . 180° = 1080°. Logo: . Então: . Uma vez que , então: .

Como você pode ver, em todos os três exemplos, a soma dos ângulos externos,  , resultou em 360°.

Exemplo:

A soma dos ângulos internos e externos de um polígono é igual a 1800°. Qual é esse polígono?

Temos:  . Sabendo que em qualquer polígono , então, temos:

Logo, nos resta saber qual polígono tem a soma dos ângulos internos igual a 1440°.

Resolvendo essa equação, podemos ver que n = 10. Logo, o polígono procurado é o decágono.

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Como calcular a soma dos ângulos externos de um polígono convexo?

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Qual a soma dos ângulos internos é externos?

Qual é o valor da soma dos ângulos internos de um triângulo convexo?