Resposta Questão 2 Calcule as distâncias entre B e C (dBC) e entre B e A (dBA), que são a base e a altura desse triângulo, uma vez que ele é retângulo em B. Primeiramente, calcularemos dBC: Agora, calcularemos dBA: Para finalizar o exercício, basta calcular a área desse triângulo, lembrando que a área de um triângulo pode ser calculada multiplicando sua base por sua altura e dividindo o resultado por 2: Gabarito: Letra D. Resposta Questão 3 Primeiro, desenharemos o triângulo e mostraremos que um de seus ângulos é reto. Caso um dos ângulos do triângulo não seja reto, é necessário descobrir sua altura, o que pode ser feito utilizando distância entre ponto e reta. Observe que possivelmente o ângulo A é um ângulo reto. Caso isso ocorra, AB já é a altura do triângulo com relação à base AC. Para garantir isso, basta calcular os coeficientes angulares de AB e de AC. Caso o coeficiente angular de AB seja o “inverso do oposto” do coeficiente angular de AC, então AC e AB são perpendiculares e A é um ângulo reto. Primeiramente, o coeficiente angular de AC: Agora, o coeficiente angular de AB: Os coeficientes angulares são inversos e opostos. Logo, AC é perpendicular a AB. Assim, AB é a altura do triângulo ABC, enquanto AC é a base. Para calcular a área desse triângulo, é necessário calcular antes os comprimentos de sua base e altura, que são os segmentos perpendiculares AC e AB. Para tanto, utilizaremos a fórmula da distância entre dois pontos. Observe: Cálculo da altura do triângulo ABC: Cálculo da base do triângulo ABC: Agora, basta calcular a área do triângulo ABC, sabendo que sua base mede aproximadamente 4,2 e sua altura mede aproximadamente 2,8. Como os valores das distâncias foram arredondados para baixo, então o valor obtido na área é um pouco menor que 6. Logo, conforme as alternativas de resposta, a área desse triângulo é 6. Gabarito: Letra A. Resposta Questão 4 Para resolver esse exercício, basta resolver a equação dAB = dBC. Antes disso, porém, calcularemos dAB e dBC separadamente e elevaremos seus resultados ao quadrado. Primeiramente, a distância entre A e B: Agora, a distância entre B e C: O resultado final é obtido resolvendo a equação gerada por (dAB)2 = (dBC)2. Observe: Gabarito: Letra C. Na Geometria Analítica, o cálculo da distância entre dois pontos permite encontrar a medida do segmento de reta que os une. Utilize as questões a seguir para testar seus conhecimentos e tire suas dúvidas com as resoluções comentadas. Questão 1Qual a distância entre dois pontos que possuem as coordenadas P (–4,4) e Q (3,4)? Ver Resposta Resposta correta: dPQ = 7. Observe que as ordenadas (y) dos pontos são iguais, logo, o segmento de reta formado é paralelo ao eixo x. A distância então é dada pelo módulo da diferença entre as abscissas. Substituindo as abscissas dos pontos na fórmula, temos Veja a representação dos pontos no plano cartesiano. dPQ = 7 u.c. (unidades de medida de comprimento). Questão 2Determine a distância entre os pontos R (2,4) e T (2,2). Ver Resposta Resposta correta: dRT = 2. As abscissas (x) das coordenadas são iguais, sendo assim, o segmento de reta formado está paralelo ao eixo y e a distância é dada pela diferença entre as ordenadas. Substituindo as ordenadas na fórmula, temos Observe a representação dos pontos no plano cartesiano. dRT = 2 u.c. (unidades de medida de comprimento). Veja também: Distância entre dois pontos Questão 3Sejam D (2,1) e C (5,3) dois pontos no plano cartesiano, qual a distância de DC? Ver Resposta Resposta correta: dDC = . Observe no plano cartesiano que o segmento de reta formado não está paralelo a nenhum eixo. Sendo e , podemos aplicar o Teorema de Pitágoras ao triângulo DCP. Substituindo as coordenadas na fórmula, encontramos a distância entre os pontos da seguinte forma: A distância entre os pontos é de dDC = u.c. (unidades de medida de comprimento). Questão 4O triângulo ABC possui as coordenadas A (2, 2), B (–4, –6) e C (4,–12). Qual o perímetro desse triângulo? Ver Resposta Resposta correta: 1º passo: Calcular a distância entre os pontos A e B. 2º passo: Calcular a distância entre os pontos A e C. 3º passo: Calcular a distância entre os pontos B e C. Podemos observar que o triângulo tem dois lados iguais dAB = dBC, sendo assim, o triângulo é isósceles e seu perímetro é: Questão 5Um móvel percorre a trajetória A→B→C. Estando as medidas expressas em metros e, considerando o ponto A como a origem do sistema cartesiano, a distância percorrida pelo móvel é: Ver Resposta A distância percorrida pelo móvel é, aproximadamente 8,60 m. Aproximando a raiz quadrada de 13 para 3,60: Questão 6Em uma corrida de aventura através de uma floresta é necessário encontrar a localização de alguns pontos específicos por onde a equipe deve passar e registrar seu tempo. Na próxima etapa as equipes devem passar pelo ponto de localização P(5, c). Além do mapa, as equipes receberam a informação de que o ponto P é equidistante da largada L(3, 6) e da chegada C(9, 4). Com base nas informações, a ordenada c do ponto P é: Ver Resposta Resposta correta: c = 1. Como o ponto P é equidistante da posição da largada e da chegada, é verdadeiro que: Elevando os dois membros ao quadrado, eliminamos as raízes. Questão 7(UFRGS) A distância entre os pontos A (-2, y) e B (6, 7) é 10. O valor de y é: a) -1 Ver Resposta Alternativa correta: c) 1 ou 13. 1º passo: Substituir os valores das coordenadas e da distância na fórmula. 2º passo: Eliminar a raiz elevando os dois termos ao quadrado e encontrar a equação que determina o y. 3º passo: Aplicar a fórmula de Bhaskara e encontrar as raízes da equação. Para que a distância entre os pontos seja igual a 10, o valor de y deve ser 1 ou 13. Questão 8(UFES) Sendo A (3, 1), B (–2, 2) e C (4, –4) os vértices de um triângulo, ele é: a) equilátero. Ver Resposta Alternativa correta: c) isósceles e não retângulo. 1º passo: Calcular a distância de AB. 2º passo: Calcular a distância de AC. 3º passo: Calcular a distância de BC. 4º passo: Julgar as alternativas. a) ERRADA. Para um triângulo ser equilátero os três lados devem ter a mesma medida, mas o triângulo ABC tem um dos lados diferente. b) ERRADA. O triângulo ABC não é retângulo pois não obedece ao Teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos catetos ao quadrado. c) CORRETA. O triângulo ABC é isósceles, pois possui as medidas de dois lados iguais. d) ERRADA. O triângulo ABC não é retângulo, mas é isósceles. e) ERRADA. O triângulo ABC é isósceles. Questão 9(PUC-RJ) Se os pontos A = (–1, 0), B = (1, 0) e C = (x, y) são vértices de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é a) 1 Ver Resposta Alternativa correta: b) 2. Sendo os pontos A, B e C vértices de um triângulo equilátero, isso quer dizer que as distâncias entre os pontos são iguais, pois esse tipo de triângulo possui os três lados com a mesma medida. Como os pontos A e B têm suas coordenadas, substituindo-as na fórmulas encontramos a distância. Logo, dAB = dAC= 2. Questão 10(UFSC) Dados os pontos A (-1; -1), B (5; -7) e C (x; 2), determine x, sabendo que o ponto C é equidistante dos pontos A e B. a) X = 8 Ver Resposta Alternativa correta: a) X = 8. 1º passo: Montar a fórmula para calcular as distâncias. Se A e B são equidistantes de C, quer dizer que os pontos encontram-se à mesma distância. Logo, dAC = dBC e a fórmula para calcular é: Anulando-se as raízes dos dois lados, temos: 2º passo: Resolver os produtos notáveis. 3º passo: Substituir os termos na fórmula e resolvê-la. Para que o ponto C seja equidistante dos pontos A e B, o valor de x deve ser 8. Questão 11(Uel) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é a) 4 Ver Resposta Alternativa correta: a) 4. 1º passo: calcular a distância entre os pontos A e C. 2º passo: Aplicar o Teorema de Pitágoras. Se a figura é um quadrado e o segmento de reta AC é sua diagonal, então quer dizer que o quadrado foi dividido em dois triângulos retângulos, com um ângulo interno de 90º. Segundo o Teorema de Pitágoras, a soma do quadrado dos catetos equivale ao quadrado da hipotenusa. 3º passo: Calcular a área do quadrado. Substituindo o valor do lado na fórmula da área do quadrado, temos: Questão 12(CESGRANRIO) A distância entre os pontos M (4,-5) e N (-1,7) do plano x0y vale: a) 14 Ver Resposta Alternativa correta: b) 13. Para calcular a distância entre os pontos M e N, basta substituir as coordenadas na fórmula. Questão 13(ETAM 2011) A distância do ponto (−1, −1) ao ponto (1, 1) é igual a: a) 2√2; Ver Resposta Resposta correta: a) 2√2 Fazendo: A(-1,-1) Questão 14(UFRR 2017) Sabendo-se que a distância entre os pontos A (4,y) e B (1,2) é igual a 5, os valores de y são: a) 6 e - 2 Ver Resposta Resposta correta: a) 6 e - 2 Para extrair a raiz, elevamos ambos os membros da equação ao quadrado. Determinando o delta da equação do segundo grau: Determinando as raízes da equação: Desta forma, os valores 6 e -2 satisfazem y. Veja também:
Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais. |