É possível formar um triângulo a partir de três segmentos de reta com medidas iguais 7 cm 5 cm é 2 cm?

Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil

Geometria

Pol�gonos e tri�ngulos

Maria Luiza V.Scalzo
Ulysses Sodr�

Material desta p�gina

• 1 Segmentos Lineares e poligonais abertas
• 2 Pol�gono (Poligonal fechada) e Regi�o poligonal
• 3 Regi�es poligonais quanto � convexidade
• 4 Nomes dos pol�gonos
• 5 Tri�ngulos e a sua classifica��o
• 6 Medidas dos �ngulos de um tri�ngulo
• 7 Congru�ncia de Tri�ngulos
• 8 Casos de Congru�ncia de Tri�ngulos
• 9 Raz�o entre segmentos de Reta
• 10 Segmentos Proporcionais
• 11 Feixe de retas paralelas
• 12 Semelhan�a de Tri�ngulos
• 13 Casos de Semelhan�a de Tri�ngulos
• 14 Quadril�teros e a sua classifica��o

1 Segmentos Lineares e poligonais abertas

Nas figuras que seguem, apresentamos um segmento, dois segmentos consecutivos e tr�s segmentos consecutivos. Segmentos consecutivos s�o aqueles em que a extremidade final do primeiro segmento � a extremidade inicial do segundo e a extremidade final do segundo � a extremidadade inicial do terceiro e assim por diante.

Uma linha poligonal aberta � formada por segmentos de reta consecutivos e n�o colineares, ou seja, segmentos de reta que n�o est�o alinhados na mesma reta e que n�o se fecham.

2 Pol�gono (Poligonal fechada) e Regi�o poligonal

Pol�gono � uma figura geom�trica cuja palavra prov�m do grego que quer dizer: poli(muitos) + gonos(�ngulos). Um pol�gono � uma linha poligonal fechada formada por segmentos consecutivos, n�o colineares que se fecham.

A regi�o interna a um pol�gono � a regi�o plana delimitada por um pol�gono.

Muitas vezes encontramos na literatura sobre Geometria a palavra pol�gono, identificada como a regi�o localizada dentro da linha poligonal fechada mas deve ficar claro que pol�gono representa apenas a linha. Quando n�o h� perigo na informa��o sobre o que se pretende obter, usa-se a palavra em um sentido ou em outro.

Considerando a figura anexada, observamos que:

1. Os segmentos AB, BC, CD, DE e EA s�o os lados do pol�gono e da regi�o poligonal.
2. Os pontos A, B, C, D e E s�o os v�rtices da regi�o poligonal e do pol�gono.
3. Os �ngulos da linha poligonal, da regi�o poligonal fechada e do pol�gono s�o: A, B, C, D e E.

3 Regi�es poligonais quanto � convexidade

Regi�o poligonal convexa: � uma regi�o poligonal que n�o apresenta reentr�ncias no corpo da mesma. Isto significa que todo segmento de reta cujas extremidades est�o nesta regi�o estar� totalmente contido na regi�o poligonal.

Regi�o poligonal n�o convexa (c�ncava): � uma regi�o poligonal que apresenta reentr�ncias no corpo da mesma, o que ela possui segmentos de reta cujas extremidades est�o na regi�o poligonal mas que n�o est�o totalmente contidos na regi�o poligonal.

4 Nomes dos pol�gonos

Dependendo do n�mero de lados, um pol�gono recebe os seguintes nomes de acordo com a tabela:

\[\begin{array}{cl|cl} \text{lados} & \text{Pol�gono} & \text{lados} & \text{Pol�gono} \\ \hline 1 & \text{n�o existe} & 11 & \text{undec�gono} \\ 2 & \text{n�o existe} & 12 & \text{dodec�gono} \\ 3 & \text{tri�ngulo } & 13 & \text{tridec�gono} \\ 4 & \text{quadril�tero} & 14 & \text{tetradec�gono} \\ 5 & \text{pent�gono} & 15 & \text{pentadec�gono} \\ 6 & \text{hex�gono} & 16 & \text{hexadec�gono} \\ 7 & \text{hept�gono} & 17 & \text{heptadec�gono} \\ 8 & \text{oct�gono} & 18 & \text{octadec�gono} \\ 9 & \text{ene�gono} & 19 & \text{eneadec�gono} \\ 10 & \text{dec�gono} & 20 & \text{icos�gono} \\ \hline \end{array}\]

Pol�gono Regular: � o pol�gono que possui todos os lados congruentes (mesma medida) e todos os �ngulos internos congruentes. No desenho animado ao lado podemos observar os pol�gonos: tri�ngulo, quadrado, pent�gono, hex�gono e hept�gono.

5 Tri�ngulos e a sua classifica��o

Tri�ngulo � um pol�gono de tr�s lados. � o pol�gono que possui o menor n�mero de lados. Talvez seja o pol�gono mais importante que existe. Todo tri�ngulo possui alguns elementos e os principais s�o: v�rtices, lados, �ngulos, alturas, medianas e bissetrizes.

Apresentamos agora alguns objetos com detalhes sobre os mesmos.

1. V�rtices: A, B e C.
2. Lados: AB, BC e AC.
3. �ngulos internos: a, b e c.

Altura: � um segmento de reta tra�ado a partir de um v�rtice de forma a encontrar o lado oposto ao v�rtice formando um �ngulo reto. BH � uma altura do tri�ngulo. Em um tri�ngulo, podemos tra�ar tr�s alturas, que se encontram em um ponto denominado ortocentro.

Mediana: � o segmento que une um v�rtice ao ponto m�dio do lado oposto. BM � uma mediana. Em um tri�ngulo, podemos tra�ar tr�s medianas, que se encontram em um ponto denominado baricentro.

Bissetriz: � a semirreta que divide um �ngulo em duas partes iguais. O �ngulo B est� dividido ao meio e neste caso �=�. Em um tri�ngulo, podemos tra�ar tr�s bissetrizes, que se encontram em um ponto denominado incentro.

�ngulo Interno: � formado por dois lados do tri�ngulo. Todo tri�ngulo possui tr�s �ngulos internos.

�ngulo Externo: � formado por um dos lados do tri�ngulo e pelo prolongamento do lado adjacente (ao lado).

Classifica��o dos tri�ngulos quanto ao n�mero de lados:

Tipo de tri�ngulo & Medidas dos lados & Figura

1. Tri�ngulo equil�tero: Os lados t�m medidas iguais, isto �, \(m(AB)=m(BC)=m(CA)\)
   
2. Tri�ngulo is�sceles: Dois lados t�m medidas iguais, isto �, \(m(AB)=m(AC)\)
   
3. Tri�ngulo escaleno: Os lados t�m medidas diferentes.
   

Classifica��o dos tri�ngulos quanto �s medidas dos �ngulos

1. Tri�ngulo acut�ngulo: Os �ngulos internos s�o agudos (as medidas dos �ngulos s�o menores que 90 graus)
   
2. Tri�ngulo obtus�ngulo: Um �ngulo interno � obtuso (a medida desse �ngulo � maior que 90 graus.
   
3. Tri�ngulo ret�ngulo: Um �ngulo interno reto (medida desse �ngulo � igual a 90 graus.
   

6 Medidas dos �ngulos de um tri�ngulo

�ngulos Internos: Para o tri�ngulo ABC, podemos identificar com as letras a, b e c as medidas dos �ngulos internos desse tri�ngulo. Algumas vezes escrevemos as letras mai�sculas A, B e C para representar os �ngulos.

A soma dos �ngulos internos de qualquer tri�ngulo � sempre igual a 180 graus, isto �:

\[a+b+c=180 \text{ graus}\]

Exemplo: Usando o tri�ngulo abaixo, podemos escrever: \(70+60+x=180\) graus e obter \(x=180-70-60=50\) graus.

�ngulos Externos: Como observamos no desenho do tri�ngulo ABC, em anexo, as letras min�sculas representam os �ngulos internos e as respectivas letras mai�sculas os �ngulos externos.

Todo �ngulo externo de um tri�ngulo � igual � soma dos dois �ngulos internos n�o adjacentes a esse �ngulo externo. Assim:

\[A=b+c, \qquad B=a+c, \qquad C=a+b\]

Exemplo: No tri�ngulo da figura seguinte

o �ngulo \(x\) � dado por: \(x=50+80=130\) graus.

7 Congru�ncia de Tri�ngulos

A ideia de congru�ncia: Duas figuras planas s�o congruentes quando t�m a mesma forma e as mesmas dimens�es, isto �, o mesmo tamanho.

Para indicar que dois tri�ngulos ABC e DEF s�o congruentes, usamos a nota��o:

\[ABC \cong DEF\]

Para os tri�ngulos das figuras abaixo:

existe a congru�ncia entre os lados, tal que:

\[AB \cong RS, \qquad BC \cong ST, \qquad CA \cong TR\]

e a congru�ncia entre os �ngulos:

\[A \cong R, \qquad B \cong S, \qquad C \cong T\]

Se o tri�ngulo \(ABC\) � congruente ao tri�ngulo \(RST\), escrevemos:

\[ABC \cong RST\]

Dois tri�ngulos s�o congruentes, se os seus elementos correspondentes s�o ordenadamente congruentes, isto �, os tr�s lados e os tr�s �ngulos de cada tri�ngulo t�m respectivamente as mesmas medidas.

Para verificar se um tri�ngulo � congruente a outro, n�o � necess�rio saber a medida de todos os seis elementos, basta conhecer tr�s elementos, entre os quais esteja pelo menos um lado. Para facilitar o estudo, indicaremos os lados correspondentes congruentes marcados com s�mbolos gr�ficos iguais.

8 Casos de Congru�ncia de Tri�ngulos

1. \(LLL\) (Lado, Lado, Lado): Os tr�s lados s�o conhecidos.
   Dois tri�ngulos s�o congruentes quando t�m, respectivamente, os tr�s lados congruentes. Os elementos congruentes t�m a mesma marca.
   
   

2. \(LAL\) (Lado, �ngulo, Lado): Dados dois lados e um �ngulo
   Dois tri�ngulos s�o congruentes quando t�m dois lados congruentes e os �ngulos formados por eles tamb�m s�o congruentes.
   
   

3. \(ALA\) (�ngulo, Lado, �ngulo): Dados dois �ngulos e um lado
   Dois tri�ngulos s�o congruentes quando t�m um lado e dois �ngulos adjacentes a esse lado, respectivamente, congruentes.
   
   

4. \(LAAo\) (Lado, �ngulo, �ngulo oposto): Conhecido um lado, um �ngulo e um �ngulo oposto ao lado.
   Dois tri�ngulos s�o congruentes quando t�m um lado, um �ngulo, um �ngulo adjacente e um �ngulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.
   
   

9 Raz�o entre segmentos de Reta

Segmento de reta � o conjunto de todos os pontos de uma reta localizados entre dois pontos que s�o as extremidades do segmento, sendo um deles o ponto inicial e o outro o ponto final. Denotamos um segmento por duas letras como \(AB\), onde \(A\) o in�cio e \(B\) o final do segmento.

Exemplo: \(AB\) � um segmento de reta.

\[A \underline{\qquad\qquad} B\]

N�o � poss�vel dividir um segmento de reta por outro, mas � poss�vel realizar a divis�o entre as medidas desses segmentos.

Sejam os segmentos \(AB\) e \(CD\), indicados:

\[A \underline{\qquad\qquad} B \tag{$m(AB)=3$ cm} \]

\[C \underline{\qquad\qquad\qquad} D \tag{$m(CD)=5$ cm} \]

A raz�o entre os segmentos AB e CD, denotada por \(AB/CD\) ou por \(\frac{AB}{CD}\), � definida como a raz�o entre as medidas desse segmentos , isto �:

\[\frac{AB}{CD} = \frac35\]

10 Segmentos Proporcionais

Propor��o � a igualdade entre duas raz�es equivalentes. De forma semelhante ao estudo com n�meros racionais, � poss�vel estabelecer a proporcionalidade entre segmentos de reta, atrav�s das medidas desse segmentos.

Consideremos um caso particular com quatro segmentos de reta:

\[\begin{matrix} A \underline{\qquad} B & P \underline{\qquad\qquad} Q \\ C \underline{\quad\qquad} D & R \underline{\qquad\qquad\qquad} S \end{matrix}\]

onde \(m(AB)=2\;\text{cm}\), \(m(PQ)=4\;\text{cm}\), \(m(CD)=3\;\text{cm}\) e \(m(RS)=6\;\text{cm}\).

A raz�o entre os segmentos \(AB\) e \(CD\) e a raz�o entre os segmentos \(PQ\) e \(RS\), s�o duas fra��es equivalentes, isto �:

\[\frac{AB}{CD} = \frac23 = \frac46 = \frac{PQ}{RS}\]

que nos leva � defini��o de segmentos proporcionais.

Quatro segmentos de reta: AB, BC, CD e DE, nesta ordem, s�o proporcionais se:

\[\frac{AB}{BC} = \frac{CD}{DE}\]

Os segmentos \(AB\) e \(DE\) s�o os segmentos extremos e os segmentos

\(BC\) e \(CD\) s�o os segmentos meios.

A proporcionalidade acima � garantida pelo fato que existe uma propor��o entre os n�meros reais que s�o as medidas dos segmentos:

\[\frac{m(AB)}{m(BC)} = \frac{m(CD)}{m(DE)}\]

Propriedade Fundamental das propor��es: Em uma propor��o de segmentos, o produto das medidas dos segmentos meios � igual ao produto das medidas dos segmentos extremos.

\[m(AB){\times}m(DE) = m(BC){\times}m(CD)\]

11 Feixe de retas paralelas

Um conjunto de tr�s ou mais retas paralelas num plano � chamado feixe de retas paralelas. A reta que intercepta as retas do feixe � a reta transversal ao feixe. Aqui, vamos usar letras mai�sculas para retas. As retas A, B, C e D, que aparecem no desenho anexado, formam um feixe de retas paralelas enquanto que as retas S e T s�o retas transversais.

Teorema de Tales: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. A figura ao lado representa uma situa��o onde aparece um feixe de tr�s retas paralelas cortado por duas retas transversais.

Na sequ�ncia, identificamos algumas propor��es:

\[\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF},\quad \frac{BC}{AB}=\frac{EF}{DE},\quad \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF},\quad \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}\]

Exemplo: Seja a figura seguinte com um feixe de retas paralelas, sendo as medidas dos segmentos indicadas em cent�metros.

Assim:

\[\frac{BC}{AB}=\frac{EF}{DE}, \quad \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}, \quad \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}\]

Notamos que uma propor��o pode ser formulada de v�rias maneiras. Se um dos segmentos do feixe de paralelas for desconhecido, a sua dimens�o pode ser determinada com o uso de raz�es proporcionais.

12 Semelhan�a de Tri�ngulos

Conceito de semelhan�a: Duas figuras s�o semelhantes quando possuem a mesma forma, mas nem sempre o mesmo tamanho.

Se duas figuras R e S s�o semelhantes, denotamos tal semelhan�a por \(R \cong S\).

Exemplo: As amplia��es e redu��es fotogr�ficas s�o figuras semelhantes. Para os tri�ngulos:

os tr�s �ngulos s�o respectivamente congruentes, isto �:

\[A \cong R, B \cong S, C \cong T\]

Os dois tri�ngulos semelhantes da figura anterior, possuem lados proporcionais e �ngulos congruentes. Se um lado do primeiro tri�ngulo � proporcional a um lado do outro tri�ngulo, ent�o estes dois lados s�o ditos hom�logos. Desse modo, todos os lados proporcionais s�o hom�logos. Realmente:

\[\begin{align} AB \cong RS & \quad \text{pois} \quad \frac{m(AB)}{m(RS)}=2 \\ BC \cong ST & \quad \text{pois} \quad \frac{m(BC)}{m(ST)}=2 \\ AC \cong RT & \quad \text{pois} \quad \frac{m(AC)}{m(RT)}=2 \end{align}\]

Como as raz�es acima s�o todas iguais a 2, este valor comum � denominado raz�o de semelhan�a entre os tri�ngulos. Conclu�mos que o tri�ngulo ABC � semelhante ao tri�ngulo RST.

Dois tri�ngulos s�o semelhantes se possuem os tr�s �ngulos e os tr�s lados correspondentes proporcionais, mas existem alguns casos interessantes a analisar.

13 Casos de Semelhan�a de Tri�ngulos

Dois �ngulos congruentes: Se dois tri�ngulos possuem dois �ngulos correspondentes congruentes, ent�o os tri�ngulos s�o semelhantes.

Se \(A \cong D\) e \(C \cong F\) ent�o:

\[ABC \cong DEF\]

Dois lados proporcionais:Se dois tri�ngulos possuem dois lados proporcionais e os �ngulos formados por esses lados s�o congruentes, ent�o os tri�ngulos s�o semelhantes.

Como

\[\frac{m(AB)}{m(EF)} = \frac{m(BC)}{m(FG)} = 2\]

ent�o

\[ABC \cong EFG\]

Exemplo: Na figura seguinte, um tri�ngulo pode ser rodado sobre o outro para gerar dois tri�ngulos semelhantes e o valor de \(x\) ser� igual a \(8\).

Realmente, \(x\) pode ser obtido pela semelhan�a dos tri�ngulos. Vamos identificar os lados hom�logos e com eles vamos construir a propor��o:

\[\frac3{6} = \frac4{x}\]

Tr�s lados proporcionais: Se dois tri�ngulos t�m os tr�s lados correspondentes proporcionais, ent�o os tri�ngulos s�o semelhantes.

14 Quadril�teros e a sua classifica��o

Quadril�tero � um pol�gono com quatro lados. Os principais quadril�teros s�o: quadrado, ret�ngulo, losango, trap�zio e trapez�ide.

No quadril�tero anterior, observamos alguns elementos geom�tricos:

1. Os v�rtices s�o os pontos: A, B, C e D.
2. Os �ngulos internos s�o A, B, C e D.
3. Os lados s�o os segmentos AB, BC, CD e DA.

Nota: Unindo os v�rtices opostos de um quadril�tero qualquer, obtemos sempre dois tri�ngulos e como a soma das medidas dos �ngulos internos de um tri�ngulo � \(180\) graus, conclu�mos que a soma dos �ngulos internos de um quadril�tero � igual a \(360\) graus.

Exerc�cio: Determinar a medida do �ngulo \(x\) na gravura seguinte.

Paralelogramo: � o quadril�tero que possui lados opostos paralelos. Em um paralelogramo, os �ngulos opostos s�o congruentes. Os paralelogramos mais importantes recebem nomes especiais:

1. Losango: Quatro lados congruentes
2. Ret�ngulo: Quatro �ngulos retos (90 graus)
3. Quadrado: Quatro lados congruentes e quatrp �ngulos retos.

Trap�zio: � um quadril�tero que possui dois lados opostos paralelos. Alguns elementos gr�ficos de um trap�zio (semelhante aos dos circos).

1. AB � paralelo a CD.
2. BC � n�o � paralelo a AD.
3. AB � a base maior.
4. DC � a base menor.

Trap�zios recebem nomes de acordo com os tri�ngulos que t�m caracter�sticas semelhantes. Um trap�zio pode ser:

1. Ret�ngulo: dois �ngulos retos
2. Is�sceles: lados n�o paralelos congruentes
3. Escaleno: lados n�o paralelos diferentes
   

Exerc�cio: Prolongar as retas apoiadas nos lados opostos n�o paralelos dos trap�zios da figura acima para obter, respectivamente, um tri�ngulo ret�ngulo, um is�sceles e um escaleno. Observar mais acima nesta mesma p�gina os nomes dos tri�ngulos obtidos e os nomes destes trap�zios!

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