PUC MG Calcule o valor de t sabendo que os pontos A 1 2 t, B(2 3 0 ec 1 6) são colineares

Na Geometria Analítica, o cálculo da distância entre dois pontos permite encontrar a medida do segmento de reta que os une.

Utilize as questões a seguir para testar seus conhecimentos e tire suas dúvidas com as resoluções comentadas.

Questão 1

Qual a distância entre dois pontos que possuem as coordenadas P (–4,4) e Q (3,4)?

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Resposta correta: dPQ = 7.

Observe que as ordenadas (y) dos pontos são iguais, logo, o segmento de reta formado é paralelo ao eixo x. A distância então é dada pelo módulo da diferença entre as abscissas.

Substituindo as abscissas dos pontos na fórmula, temos

Veja a representação dos pontos no plano cartesiano.

dPQ = 7 u.c. (unidades de medida de comprimento).

Questão 2

Determine a distância entre os pontos R (2,4) e T (2,2).

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Resposta correta: dRT = 2.

As abscissas (x) das coordenadas são iguais, sendo assim, o segmento de reta formado está paralelo ao eixo y e a distância é dada pela diferença entre as ordenadas.

Substituindo as ordenadas na fórmula, temos

Observe a representação dos pontos no plano cartesiano.

dRT = 2 u.c. (unidades de medida de comprimento).

Veja também: Distância entre dois pontos

Questão 3

Sejam D (2,1) e C (5,3) dois pontos no plano cartesiano, qual a distância de DC?

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Resposta correta: dDC = .

Observe no plano cartesiano que o segmento de reta formado não está paralelo a nenhum eixo.

Sendo e , podemos aplicar o Teorema de Pitágoras ao triângulo DCP.

Substituindo as coordenadas na fórmula, encontramos a distância entre os pontos da seguinte forma:

A distância entre os pontos é de dDC = u.c. (unidades de medida de comprimento).

Questão 4

O triângulo ABC possui as coordenadas A (2, 2), B (–4, –6) e C (4,–12). Qual o perímetro desse triângulo?

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Resposta correta:

1º passo: Calcular a distância entre os pontos A e B.

2º passo: Calcular a distância entre os pontos A e C.

3º passo: Calcular a distância entre os pontos B e C.

Podemos observar que o triângulo tem dois lados iguais dAB = dBC, sendo assim, o triângulo é isósceles e seu perímetro é:

Questão 5

Um móvel percorre a trajetória A→B→C.

Estando as medidas expressas em metros e, considerando o ponto A como a origem do sistema cartesiano, a distância percorrida pelo móvel é:

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A distância percorrida pelo móvel é, aproximadamente 8,60 m.

Aproximando a raiz quadrada de 13 para 3,60:

Questão 6

Em uma corrida de aventura através de uma floresta é necessário encontrar a localização de alguns pontos específicos por onde a equipe deve passar e registrar seu tempo. Na próxima etapa as equipes devem passar pelo ponto de localização P(5, c).

Além do mapa, as equipes receberam a informação de que o ponto P é equidistante da largada L(3, 6) e da chegada C(9, 4).

Com base nas informações, a ordenada c do ponto P é:

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Resposta correta: c = 1.

Como o ponto P é equidistante da posição da largada e da chegada, é verdadeiro que:

Elevando os dois membros ao quadrado, eliminamos as raízes.

Questão 7

(UFRGS) A distância entre os pontos A (-2, y) e B (6, 7) é 10. O valor de y é:

a) -1
b) 0
c) 1 ou 13
d) -1 ou 10
e) 2 ou 12

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Alternativa correta: c) 1 ou 13.

1º passo: Substituir os valores das coordenadas e da distância na fórmula.

2º passo: Eliminar a raiz elevando os dois termos ao quadrado e encontrar a equação que determina o y.

3º passo: Aplicar a fórmula de Bhaskara e encontrar as raízes da equação.

Para que a distância entre os pontos seja igual a 10, o valor de y deve ser 1 ou 13.

Questão 8

(UFES) Sendo A (3, 1), B (–2, 2) e C (4, –4) os vértices de um triângulo, ele é:

a) equilátero.
b) retângulo e isósceles.
c) isósceles e não retângulo.
d) retângulo e não isósceles.
e) n.d.a.

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Alternativa correta: c) isósceles e não retângulo.

1º passo: Calcular a distância de AB.

2º passo: Calcular a distância de AC.

3º passo: Calcular a distância de BC.

4º passo: Julgar as alternativas.

a) ERRADA. Para um triângulo ser equilátero os três lados devem ter a mesma medida, mas o triângulo ABC tem um dos lados diferente.

b) ERRADA. O triângulo ABC não é retângulo pois não obedece ao Teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos catetos ao quadrado.

c) CORRETA. O triângulo ABC é isósceles, pois possui as medidas de dois lados iguais.

d) ERRADA. O triângulo ABC não é retângulo, mas é isósceles.

e) ERRADA. O triângulo ABC é isósceles.

Questão 9

(PUC-RJ) Se os pontos A = (–1, 0), B = (1, 0) e C = (x, y) são vértices de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é

a) 1
b) 2
c) 4
d)
e)

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Alternativa correta: b) 2.

Sendo os pontos A, B e C vértices de um triângulo equilátero, isso quer dizer que as distâncias entre os pontos são iguais, pois esse tipo de triângulo possui os três lados com a mesma medida.

Como os pontos A e B têm suas coordenadas, substituindo-as na fórmulas encontramos a distância.

Logo, dAB = dAC= 2.

Questão 10

(UFSC) Dados os pontos A (-1; -1), B (5; -7) e C (x; 2), determine x, sabendo que o ponto C é equidistante dos pontos A e B.

a) X = 8
b) X = 6
c) X = 15
d) X = 12
e) X = 7

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Alternativa correta: a) X = 8.

1º passo: Montar a fórmula para calcular as distâncias.

Se A e B são equidistantes de C, quer dizer que os pontos encontram-se à mesma distância. Logo, dAC = dBC e a fórmula para calcular é:

Anulando-se as raízes dos dois lados, temos:

2º passo: Resolver os produtos notáveis.

3º passo: Substituir os termos na fórmula e resolvê-la.

Para que o ponto C seja equidistante dos pontos A e B, o valor de x deve ser 8.

Questão 11

(Uel) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é

a) 4
b) 4√2
c) 8
d) 8√2
e) 16

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Alternativa correta: a) 4.

1º passo: calcular a distância entre os pontos A e C.

2º passo: Aplicar o Teorema de Pitágoras.

Se a figura é um quadrado e o segmento de reta AC é sua diagonal, então quer dizer que o quadrado foi dividido em dois triângulos retângulos, com um ângulo interno de 90º.

Segundo o Teorema de Pitágoras, a soma do quadrado dos catetos equivale ao quadrado da hipotenusa.

3º passo: Calcular a área do quadrado.

Substituindo o valor do lado na fórmula da área do quadrado, temos:

Questão 12

(CESGRANRIO) A distância entre os pontos M (4,-5) e N (-1,7) do plano x0y vale:

a) 14
b) 13
c) 12
d) 9
e) 8

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Alternativa correta: b) 13.

Para calcular a distância entre os pontos M e N, basta substituir as coordenadas na fórmula.

Questão 13

(ETAM 2011) A distância do ponto (−1, −1) ao ponto (1, 1) é igual a:

a) 2√2;
b) 3√2;
c) 2√3;
d) 3√3.

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Resposta correta: a) 2√2

Fazendo:

A(-1,-1)
B(1, 1)

Questão 14

(UFRR 2017) Sabendo-se que a distância entre os pontos A (4,y) e B (1,2) é igual a 5, os valores de y são:

a) 6 e - 2
b) 2 + 2i e 2 - 2i
c) 2 + 2√3 e 2 - 3√3
d) 2 e 0
e) 4 + 2√6 e 4 - 2√6

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Resposta correta: a) 6 e - 2

Para extrair a raiz, elevamos ambos os membros da equação ao quadrado.

Determinando o delta da equação do segundo grau:

Determinando as raízes da equação:

Desta forma, os valores 6 e -2 satisfazem y.

Veja também:

• Exercícios sobre Geometria Analítica
• Geometria analítica
• Plano Cartesiano
• Equação da Reta
• Cálculo do Coeficiente Angular

Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.

Qual o valor de m para que os pontos a 1 2 B 2 3 EC m

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Qual o valor de m para que os pontos sejam Colineares?

Qual o valor de m para que os pontos a 2m 1 2 B (