Qual é o polígono que o número de lados é igual ao número de diagonais?

Aprenda o que são diagonais de um polígono, veja exemplos desses elementos em algumas figuras e aprenda a usar uma fórmula relativa a eles.

Polígonos são figuras geométricas planas formadas por segmentos de reta que se ligam por suas extremidades de modo a formar uma figura fechada e sem que haja qualquer cruzamento entre eles. Entre os elementos de um polígono, estão as diagonais, que são segmentos de reta que ligam dois vértices não consecutivos. Observe a figura a seguir que ilustra um “não polígono” e um polígono.

Elementos de um polígono

• Lados: são os segmentos de reta que formam o polígono;

• Vértices: são os pontos de encontro entre dois lados de um polígono;

• Diagonais: são os segmentos de reta que ligam dois pontos não consecutivos em um polígono;

• Ângulos internos: ângulos que ficam no interior de um polígono.

Número de diagonais dos polígonos

Os quadriláteros são os primeiros polígonos que possuem diagonais. Isso acontece porque os triângulos só possuem vértices consecutivos. Observe as duas diagonais do quadrado a seguir:

Os pentágonos possuem cinco lados e cinco diagonais distintas.

Já os hexágonos possuem seis lados e novediagonais.

Quando a figura geométrica possui um número relativamente pequeno de lados, é possível contar suas diagonais com facilidade. Entretanto, quando o número de lados do polígono é elevado, a tarefa de contar suas diagonais é cansativa. Para isso, existe uma fórmula na qual basta substituir a letra n pelo número de lados de um polígono para encontrar seu número de diagonais. Essa fórmula é:

D = n(n – 3)
     2

*n é o número de lados do polígono e D é o número de diagonais.

Quantas diagonais possui o pentágono? Já sabemos que são cinco diagonais, entretanto, usaremos a fórmula para conferir essa informação.

D = n(n – 3)
      2

D = 5(5 – 3)
      2

D = 5(2)
       2

D = 10
       2

D = 5

Agora, vamos calcular o número de diagonais de um polígono que possui 100 lados.

D = n(n – 3)
       2

D = 100(100 – 3)
      2

D = 100(97)
       2

D = 9700
       2

D = 4850

Logo, um polígono que possui 100 lados possui 4850 diagonais.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto:

Esta lista contém exercícios sobre polígonos, com questões sobre ângulos internos e externos, quantidade de diagonais, polígonos regulares e mais.

Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira em Exercícios de Matemática

Questão 1

Existe um polígono que possui o número de lados igual ao número de diagonais. O nome desse polígono é:

A) quadrado.

B) pentágono.

C) hexágono.

D) heptágono.

E) octógono.

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Questão 2

O polígono que possui 35 diagonais é conhecido como:

A) hexágono.

B) heptágono.

C) octógono.

D) eneágono.

E) decágono.

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Questão 3

Das alternativas a seguir, marque aquela que é incorreta.

A) A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º.

B) Todo polígono convexo possui diagonal.

C) Um polígono é conhecido como regular quando ele possui todos os lados e ângulos congruentes.

D) Um polígono é convexo quando todos os seus ângulos internos são menores que 180º.

E) O pentágono possui 5 diagonais.

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Questão 4

Sabendo que o polígono a seguir é regular, o valor de cada um dos seus ângulos internos é:

A) 540º.

B) 1080º.

C) 900º.

D) 175º.

E) 135º.

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Questão 5

O número de lados de um polígono cuja soma dos ângulos internos é igual a 720º é:

A) 5.

B) 6.

C) 7.

D) 8.

E) 10.

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Questão 6

(Mackenzie-SP) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20°. Então, o número de diagonais desse polígono é:

A) 90.

B) 104.

C) 119.

D) 135.

E) 152.

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Questão 7

Os ângulos internos de um triângulo são proporcionais aos números 3, 5 e 7. Sendo assim, a medida do maior ângulo será igual a:

A) 12º.

B) 84º.

C) 60º.

D) 36º.

E) 96º.

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Questão 8

(PUC-RJ) Os ângulos internos de um quadrilátero medem 3x – 45, 2x + 10, 2x + 15 e x + 20 graus. O menor ângulo mede:

A) 90°.

B) 65°.

C) 45°.

D) 105°.

E) 80°.

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Questão 9

(IFTM) Uma porca sextavada é um elemento de fixação utilizado em conjunto com os parafusos. Ela possui esse nome porque seu formato é associado a um polígono regular de seis lados. A figura mostra uma representação geométrica desse tipo de porca.

Qual é a medida do ângulo ABC?

A) 100º.

B) 108º.

C) 120º.

D) 135º.

E) 144º.

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Questão 10

A diferença entre o número de diagonais de um polígono que possui 10 lados e um polígono que possui 8 lados é igual a:

a) 10.

b) 12.

c) 14.

d) 15.

e) 18.

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Questão 11

Sobre o conceito de polígono convexo e não convexo, marque a alternativa correta.

A) Um polígono é convexo quando todos os seus lados e também os seus ângulos são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.

B) Um polígono é convexo quando possui diagonais.

C) Um polígono é convexo quando, dados quaisquer dois pontos (A e B) pertencentes ao polígono, o segmento de reta AB também pertence ao polígono.

D) Um polígono é convexo quando a quantidade de diagonais é igual à quantidade de lados.

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Questão 12

Um conceito importante ao estudar polígonos é o de polígono regular. Dos polígonos a seguir, indique aquele que é sempre regular.

A) Retângulo

B) Losango

C) Trapézio

D) Triângulos isósceles

E) Quadrado

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Respostas

Resposta Questão 1

Alternativa B.

Utilizando a fórmula da diagonal, temos que d = n.

O polígono que possui 5 lados é o pentágono.

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Resposta Questão 2

Alternativa E.

Sabemos que os divisores de 70 são:

D(70) = 1, 2, 5, 7,10,14, 35, 70.

Dos valores possíveis, o único que faz com que a equação seja verdadeira é n = 10, pois:

10 · (10 – 3 ) = 10 · 7 = 70

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Resposta Questão 3

Alternativa B. O único polígono que não possui diagonal é o triângulo, o que torna a alternativa B a única incorreta.

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Resposta Questão 4

Alternativa E. Esse polígono possui oito lados. Para calcular o valor de cada um dos ângulos, vamos utilizar a fórmula da soma dos ângulos internos.

Si = (n – 2) · 180

Si = ( 8 – 2) · 180

Si = 6 · 180

Si = 1080

Como o polígono é regular, todos os ângulos são congruentes, então a medida de cada um é igual a:

1.080 : 8 = 135º

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Resposta Questão 5

Alternativa B.

Utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos, temos que:

Si = ( n – 2 ) 180

720 = ( n – 2) 180

720 / 180 = n – 2

4 = n – 2

n = 4+2

n = 6

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Resposta Questão 6

Alternativa D. A soma dos ângulos externos de um polígono é sempre igual a 360º, então, para descobrir o número de lados, faremos 360 : 20 = 18.

Como esse polígono possui 18 lados, então basta substituir na fórmula das diagonais.

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Resposta Questão 7

Alternativa B.

Sabendo que a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180º, sejam a, b e c os ângulos internos do triângulo, então:

a + b + c = 180

Por proporção, temos que:

a = 3k

b = 5k

c = 7k

Assim sendo, podemos escrever que:

3k + 5k + 7k = 180

15k = 180

k = 180/ 15

k =12

O maior ângulo é 7k → 7 ·12 = 84.

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Resposta Questão 8

Alternativa B.

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º.

3x – 45 + 2x + 10 + 2x + 15 + x + 20 = 360

8x – 10 = 360

8x = 360

x = 360 : 8

x = 45

O menor ângulo é 45 + 20 = 65º.

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Resposta Questão 9

Alternativa C.

Analisando a figura, é possível perceber que ela possui 6 lados. Então, utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos, temos que:

Si = ( n – 2 ) 180º

Si = (6 – 2 ) 180º

Si = 4 · 180º

Si = 720º

A medida de um ângulo é, portanto, 720 : 6 = 120º.

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Resposta Questão 10

Alternativa D.

35 – 20 = 15

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Resposta Questão 11

Alternativa C.

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Resposta Questão 12

Alternativa E. Para ser regular, os ângulos e os lados têm que ser congruentes. Dos polígonos listados, o único que é regular é o quadrado, que possui lados e ângulos congruentes.

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Leia o artigo relacionado a este exercício e esclareça suas dúvidas

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Qual o polígono possui o número de lados igual ao número de diagonais?

Qual é o polígono que tem o número de diagonais?