Qual polígono regular possui 30º como ângulo externo?

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Ângulo interno em polígonos regulares

Em um polígono regular de $n$ lados, como todos os ângulos internos são congruentes, podemos calcular cada um deles através da expressão:

$$a_i = \dfrac{S_i}{n}$$

3.1

Exemplo: ângulos internos de um hexágono regular

Iremos calcular a medida dos ângulos internos de um hexágono regular.

Ele é o polígono com $6$ lados, portanto $n = 6$. Primeiro iremos calcular a soma de todos os ângulos internos:

\begin{align}
S_i &= (n-2) \cdot 180 \\
&= (6- 2) \cdot 180 \\
&= 4 \cdot 180 \\
&= 720^{\circ}
\end{align}

Como todos os $6$ ângulos devem ter a mesma medida, basta dividir esta soma por $6$.

$$a_i = \dfrac{S_i}{n} = \dfrac{720}{6} = 120^{\circ}$$

Portanto todos os ângulos internos do hexágono regular possuem $120^{\circ}$.

3.2

Exemplo: determinar o número de lados

Neste exemplo iremos descobrir quantos lados um polígono regular possui se o ângulo interno dele mede $150^{\circ}$.

Lembrando que o ângulo interno pode ser calculado com a fórmula:

$$a_i = \dfrac{S_i}{n},$$

sendo que $S_i = (n-2) \cdot 180$.

Então vamos substituir $a_i$ por $150^{\circ}$ e resolver a equação que é criada; o primeiro passo é multiplicar em cruz:

\begin{align}
150 &= \dfrac{(n- 2) 180}{n} \\
150n &= (n- 2)180 \\
150n &= 180n- 360 \\
150n- 180n &= 360 \\
30n &= 360 \\
n &= \dfrac{360}{30} \\
n &= 12
\end{align}

Então, se os ângulos internos de um polígono regular medem $150^{\circ}$, ele tem $12$ lados (dodecágono).

3.3

Ângulo interno de quadrilátero

Num trapézio, cada ângulo excede o precedente em $20^{o}$. Calcule as medidas dos ângulos dos trapézios.

Usando a fórmula de Soma dos ângulos internos de um polígono regular,

\begin{align}
S_{i} &= (n – 2) \cdot 180^{o}
\end{align}

E dado que o trapézio possui os seguintes ângulos $x$, $x + 20$, $x + 40$, $x + 60$, podemos escrever:

\begin{align}
x + x + 20 + x + 40 + x + 60 &= (n – 2) \cdot 180^{o} \\
4x + 120 &= (4 – 2) \cdot 180 \\
4x + 120 &= 360 \\
4x &= 240 \\
x &= \large \frac{240}{4} \\
x &= 60
\end{align}

Portanto, os ângulos dos trapézios são $60^{o}$, $80^{o}$, $100^{o}$, $120^{o}$.