Quantos algarismos são necessários para numerar as 120 páginas de um livro?

Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)

Quantos algarismos são necessários para numerarmos as mil páginas de um livro, começando na página [tex]1[/tex]?

Solução

A numeração deve ser dividida de acordo com a quantidade de algarismos que há em cada página. Vejamos:

• de [tex]1[/tex] a [tex]9[/tex] há [tex](9-1 + 1) \times 1 = 9[/tex] algarismos;
• de [tex]10[/tex] a [tex]99[/tex] há [tex](99-10 + 1) \times 2 = 180[/tex] algarismos;
• de [tex]100[/tex] a [tex]999[/tex] há [tex](999-100 + 1) \times 3 = 2700[/tex] algarismos;
• para a página [tex]1\,000[/tex] serão usados [tex]4[/tex] algarismos.

Desse modo, o total de algarismos utilizados é [tex]9 + 180 + 2700 + 4 = 2893[/tex].

Solução elaborada pelo Clube KHÉRIMA,
com contribuições dos Moderadores do Blog.

Participou da discussão o Clube KHÉRIMA.

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/probleminha-numeracao-de-paginas/

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Pré-visualização | Página 4 de 50

4) D 5) C 6) B
NÚMERO, NUMERAL E ALGARISMO
 ( ( ( ( (
 1 2 3 4 5
 Os números são representados por numerais.
 O número de borboletas é representado pelo numeral "5".
 Para representar os numerais existem símbolos chamados 
 algarismos
 0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 
 Eles se chamam Algarismos indo-arábicos.
 Exemplos:
 27 é um numeral formado pelos algarismos 2 e 7.
 Um número pode ser representado de várias formas. O 
 número é a idéia da quantidade de elementos. 
 5
 ( ( 3 + 2
 ( (( cinco 
 6 - 1
 5 x 1 
 5 : 1 
 
Questões comentadas: Problemas de Contagem
(PRF) Para enumerar as páginas de um livro de 468 páginas, quantos algarismos são escritos?
a) 468 b) 936 c)1296 d) 1324 e) 1428 
comentário: a quantidade de algarismos é a soma de todos os símbolos usados até a última página do livro, (468 que é um numeral de 3 algarismos) como é constante o número de algarismos chegamos a seguinte relação:
1ª etapa: de 1 até 9 ( temos 9 números (9x1) = 9 algarismos;
2ª etapa: de 10 até 99 ( temos 90 números (90x2) = 180 algarismos;
3ª etapa: de 100 até 999 ( temos 900 números (900x30) = 2700 algarismos; etc.
Solução: conhecendo a relação, precisamos apenas calcular a quantidade de algarismos da 3ª etapa somar com +9 +180 (que representam a quantidade de algarismos da 1ª e 2ª etapas, respectivamente), assim temos:
Pág. 100 até Pág. 468( temos 369 páginas (369 x 3) = 1.107 algarismos
9 + 180 + 1.107 = 1.296 algarismos: Resposta c)
(B) Para numerar seguidamente as cadeiras de um auditório foram necessários 1092 algarismos. Quantas cadeiras possui o auditório?
a) 301 b) 400 c) 300 d) 401 e) 1092
Comentário: para encontrarmos o total de números (cadeiras), usaremos a mesma resolução, porém com as operações inversas.
Solução: subtraindo do total de algarismos (1092) -9 -180, chegamos em 903 algarismos; agora é só dividir por 3 e temos o número de cadeiras na 3ª etapa. 
903 / 3 = 301 cadeiras
Agora, não podemos esquecer que o total de cadeiras do auditório, será:
9 + 90 + 301 = 400 cadeiras Resposta b) 
QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES
1.(UECE) O número de algarismos, contados com as repetições, necessários para numerar as 96 páginas de um livro é igual a:
 a)180 b) 181 c)183 d) 185
2.(PUC) Para numerar as páginas de um livro, foram escritos 1359 algarismos. O número de páginas desse livro é: 
a) 490 b) 489 c) 488 d) 487 e) 485
3. (BB) Para numerar as páginas de um livro, foram empregados 10681 algarismos. Determine quantas páginas tem o livro. 
 a) 2947 b) 2951 c) 2955 d) 2959 e) 2963
4. (CEF) Um livro tem 300 páginas, numeradas de 1 a 300. A quantidade de vezes que o algarismo 2 aparece na numeração das páginas desse livro é:
a) 140 b) 142 c) 150 d) 154 e) 160
5. (PRF) Escrevendo-se os inteiros de 1 até 537,determine quantas vezes aparecerá o algarismo 8.
 a) 101 b) 103 c) 105 d) 107 e) 109
6.(BB) A soma dos dois algarismos de um número é 12. Se trocarmos a ordem desses algarismos, o número aumenta em 18 unidades. Determine a terça parte desse número. 
a) 15 b) 17 c) 19 d) 21 e) 24
7.(UECE) Dado um número de dois algarismos, forma-se um novo número de três algarismos, colocando “1" à direita do número original; o novo número assim formado é:
 a) Dez vezes o número original, mais um.
 b) Cem vezes o número original, mais um.
 c) Cem vezes o número original 
 d) Dez vezes o número original.
8.(UECE) Sejam ab e ba dois números de dois algarismos. Se a média aritmética entre estes dois números é 66, o valor de a + b é:
 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13
9. (UFC) Um número positivo N, de dois algarismos, é tal que, ao inverter-se os dois algarismos, o novo número assim formado excede N em 27 unidades. Se a soma dos algarismos de N é igual a 11, qual o valor de N ?
 a) 29 b) 38 c) 47 d) 56 e) 65
10.(UNIFOR) Seja o número AB, onde A e B são os algarismos das dezenas e das unidades, respectivamente. Se BA é o número obtido permutando-se os algarismos A e B, então AB – BA é sempre:
a) Zero b) Número Primo c) Quadrado perfeito 
d) Divisível por 5 e) Múltiplo de 9
11. (BNB) Do maior número possível de ser digitado em uma calculadora com lugar para oito algarismos foi subtraído o número de habitantes de um dos estados do Nordeste, obtendo-se como resultado, 92.582.597. somando-se uma única vez os números de um algarismo obtidos dos algarismos que compõem o número de habitantes desse estado obtém-se:
 a) 16		b) 41		c) 14		d) 51		e) 15
12. (AMC) Quantos números de dois algarismos distintos existem cuja soma dos algarismos é 8?
 a ) 6 	 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 
Respostas
 1. C 	 	4. E		7) A		10) E					
 2. B 		5. B		8. C		11) C
 3. A		6. C		9. C		12) B
EXERCÍCIOS
Resolver as seguintes expressões aritméticas:
31 + {18 + [ ( 7+ l5 ) + 2 + (3+1) ] + 15}
7 + 5 x 8 – 2 x 4
8 + 7 x 4 – 3 x 5 + 7
28 – 5 x 4 – (40 – 8 x 4) + 10
( 5 x 7 + 3 ) x 6 + ( 12 – 3 x 2) x 5
123 – { 150 + [ 36 – ( 7 x 4 + 3 x 2 ) + 5 ] } x 2
285 – 3 x { 25 + 2 x [18 – 3 x (15 – 2 x 5 ) ] }
[ 12 – ( 3 + 2 x 3 ) ] + 15 – (2 + 6 : 2)
(13 + 7) : 5 + 24 : [ 12 – ( 3 + 2 x 3) ] – 15 : (2 + 6 : 2)
[40 – (11 – 6) x 2 + 15 ] : [ 3 + 3 x (12 – 5 x 2)]
{ 16 + 8 x [ 28 – (15 – 3) : (5 + 1) ] – 24 : 3 } : (14 – 2 x 3)
{ 230 – 3 x [ 24 – 6 x (11 – 2 x 4) : (5 x 4 – 11)] : 11} x 3 + 4
[ 60 : (5 x 12 – 50) ] : { 55 : [ 40 : 2 : ( 4 + 8 x 2) ] – 52 }
{ 120 : [ 72 : ( 53 x 13 – 680 ) + 22 ] } + (10 + 5 )
Observe a soma abaixo:
 1 a 3 A soma dos algarismos representados 
 1 7 b por a, b, e c é igual a:
 + c 1 9
 2 3 8 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
 9 5 7
16) 2 x y z
 x 4 
 1 0 1 z 8
Determinando-se os algarismos x, y e z para que a multiplicação seja verdadeira, verifica-se que: 
a) z = 7	 b) x = y + z c) x = 2z d) y = x 	e) x + y – z = 0
Escrevendo de 385 a 829 incluídos esses números, quantos números inteiros existem?
a) 440	 b) 442	c) 443		d) 444		e) 445
Calcular o número de algarismos necessários para escrever todos os números naturais de 1 até 88.
a) 167 	 b) 168	 c) 169	d) 170 e)171
Quantos algarismos são necessários para numerar as 934 páginas de um livro?
 a) 2684	b) 2690		c) 2692		d)2694
Determinar o número de algarismos necessários para se escrever os números pares de 6 até 281, inclusive.
a) 361 b) 363		 c) 365 	d)

Quantos algarismos tem um livro de 100 páginas?

Quantas páginas tem o livro de 632 algarismos?

Quantos algarismos são necessários para acrescentar 100 páginas?

Quantos algarismos são necessários para numerar um livro que tem 126 páginas?