Quantos triângulos distintos podemos traçar tendo seus vértices em seis pontos sobre uma circunferência?

A bissetriz é uma semirreta interna a um ângulo, traçada a partir do seu vértice, e que o divide em dois ângulos congruentes (ângulos com a mesma medida).

Na figura abaixo, a bissetriz, indicada por uma reta em vermelho, reparte o ângulo AÔB ao meio.

Assim, o ângulo AÔB fica dividido em dois outros ângulos, o AÔC e o BÔC, de mesmas medidas.

Como encontrar a bissetriz?

Para encontrar a bissetriz, basta seguir os seguintes passos utilizando o compasso:

1. abra um pouco o compasso e coloque a sua ponta seca no vértice do ângulo.
2. faça um traço de circunferência sobre as semirretas OA e OB.
3. com o compasso aberto, coloque a ponta seca no ponto de intersecção da semirreta OA e faça um traço de circunferência com o compasso virado para dentro do ângulo.
4. faça o mesmo, agora com a ponta seca no ponto de intersecção da semirreta OB.
5. trace uma semirreta do vértice do ângulo até o ponto de intersecção dos traços que acabou de fazer. A semirreta OC é a bissetriz.

Bissetriz dos ângulos de um triângulo

Os triângulos possuem ângulos internos e externos. Podemos traçar bissetrizes em cada um destes ângulos. O ponto de encontro das três bissetrizes internas de um triângulo é chamado de incentro.

O incentro está a uma mesma distância dos três lados do triângulo. Além disso, quando uma circunferência está inscrita em um triângulo, este ponto representa o centro da circunferência.

Teorema da Bissetriz Interna

A bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Na imagem abaixo, a bissetriz do ângulo  divide o lado a em dois segmentos x e y.

A partir do teorema da bissetriz interna, podemos escrever a seguinte proporção, considerando o triângulo ABC da imagem:

Exemplo

Encontre o valor de x indicado no triângulo da figura abaixo, sabendo que representa a bissetriz do ângulo A.

Resolução

Como é a bissetriz interna do triângulo, então podemos aplicar o teorema. Sendo assim, temos a seguinte relação:

Substituindo os valores do problema, encontramos:

Teorema da Bissetriz Externa

Os ângulos externos de um triângulo são os ângulos adjacentes aos ângulos internos. Para encontrar esses ângulos, traçamos um prolongamento do lado adjacente.

Quando a bissetriz externa intercepta o prolongamento do lado oposto, formam segmentos proporcionais aos lados adjacentes, conforme figura abaixo:

Considerando o triângulo ABC da figura, de acordo com o teorema da bissetriz externa, podemos escrever a seguinte proporção:

Sendo,

x = a + y

Exemplo

No triângulo representado na figura abaixo, encontre o valor de x, considerando que a reta AD é uma bissetriz externa deste triângulo.

Solução

Sendo a reta AD uma bissetriz externa, podemos aplicar o teorema da bissetriz externa para encontrar o valor de x. Teremos então a seguinte proporção:

Leia também:

• Teorema de Tales
• Mediatriz
• Triângulo Isósceles
• Teorema de Pitágoras

Exercícios de Vestibular

1. (Fuvest) Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determinar o comprimento de MN.

Ver Resposta

A figura abaixo representa a situação proposta no problema:

Considerando o teorema da bissetriz interna, podemos encontrar a medida de AM através da seguinte proporção:

Agora que conhecemos a medida de AM, vamos descobrir a medida de AN. Para isso, utilizaremos o teorema de Pitágoras, visto que a altura divide o triângulo em dois triângulos retângulos.

Desta forma, vamos aplicar o teorema de Pitágoras para os triângulos ACN e BCN e resolver o sistema:

Podemos encontrar o valor da medida de MN, fazendo:

O comprimento de MN é igual a 11/30.

2. (PUC-RJ) Considere um triângulo ABC retângulo em A onde AB = 21 e AC = 20. BD é a bissetriz do ângulo ABC. Quanto mede AD?

a) 42/5
b) 21/20
c) 20/21
d) 9
e) 8

Ver Resposta

Vamos começar representando o triângulo:

Como o triângulo é retângulo, podemos encontrar a medida da hipotenusa BC aplicando o teorema de Pitágoras:

Agora que conhecemos todos os lados do triângulo, podemos aplicar o teorema da bissetriz interna:

Alternativa a: 42/5

Para mais exercícios, veja em:

• Teorema de Tales - Exercícios
• Exercícios de Trigonometria
• Teorema de Pitágoras - Exercícios
• Semelhança de Triângulos - Exercícios

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.