Se eu jogar dois dados, qual a probabilidade de conseguir que somem 9

Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Probabilidade condicional e veja a resolução comentada. Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva

Ao lançarmos dois dados não viciados, qual a probabilidade de obtermos faces voltadas para cima onde a soma entre elas seja 6?

No lançamento de uma moeda e um dado, determine a probabilidade de obtermos o resultado dado por (coroa, 1). 

Em uma empresa, o risco de alguém se acidentar é dado pela razão 1 em 30. Determine a probabilidade de ocorrer nessa empresa as seguintes situações relacionadas a 3 funcionários:

Todos se acidentarem.
Nenhum se acidentar.
 

(UFF–RJ)

Em um jogo de bingo são sorteadas, sem reposição, bolas numeradas de 1 a 75, e um participante concorre com a cartela reproduzida abaixo. Qual é a probabilidade de que os três primeiros números sorteados estejam nessa cartela?

(UFSCar)

Dois dados usuais e não viciados são lançados. Sabe-se que os números observados são ímpares. Então, a probabilidade de que a soma deles seja 8 é:

a) 2/36
b) 1/6
c) 2/9
d) 1/4
e) 2/18

respostas

Nesse caso temos o lançamento de dois dados. O espaço amostral será determinado pelo produto entre os eventos decorrentes de cada universo de resultados possíveis. No dado, o espaço amostral é composto de 6 eventos e como são dois dados temos que o espaço amostral terá 6 x 6 elementos, totalizando 36.

No lançamento dos dois dados as possibilidades de parceria entre as faces para que a soma seja 6, será:

(1 e 5), (5 e 1), (2 e 4), (4 e 2), (3 e 3).

No lançamento de dois dados a probabilidade de obtermos soma das faces voltadas para cima igual a 6 será de aproximadamente 13,9%. 

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Temos que o espaço amostral do dado corresponde a 6 eventos e que o espaço amostral da moeda equivale a 2 eventos. Envolvendo o dado e a moeda temos um espaço amostral de 12 eventos. A probabilidade de obtermos o resultado (coroa, 1) é de 1 em 12. Portanto:

Ao lançarmos um dado e uma moeda, a probabilidade de obtermos o par (coroa, 1) será de aproximadamente 8,3%. 

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Probabilidade de todos se acidentarem

Como o risco é de 1 em 30 temos que:

Probabilidade de nenhum se acidentar

Para os acidentados temos a probabilidade de 1 em 30. Nesse caso para os não acidentados temos a probabilidade de 29 em 30. Então:

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Podemos resolver o exercício utilizando o princípio fundamental da contagem. Observe que a cartela contém 24 números entre um universo de 75 que serão sorteados. A chance dos três primeiros números dessa cartela serem sorteados nas três primeiras rodadas respeita a seguinte ordem:

1º sorteio – 24/75
2º sorteio ¬– 23/74
3º sorteio – 22/73

Calculamos a chance realizando o produto entre os eventos:

A chance dos três primeiros números sorteados serem da cartela é de 3%.

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No lançamento de dois dados temos que a soma entre as faces ímpares em que o resultado seja 8 é dado pelos pares (5, 3) e (3, 5). Somente 2 eventos satisfazem a situação proposta. Já o espaço amostral estará reduzido ao número de combinações entre resultados ímpares, que é 9. Portanto:

p = 2
      9

Temos que o item C fornece a resposta correta. 

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Leia o artigo relacionado a este exercício e esclareça suas dúvidas

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O estudo da probabilidade é de grande importância para a tomada de decisões em nossa sociedade. Conhecemos como probabilidade a área da matemática que estuda a chance de um determinado evento acontecer.

A probabilidade conta com conceitos importantes, como experimento aleatório, evento, espaço amostral, e eventos equiprováveis. O valor da probabilidade é sempre um número entre 0 e 1 ou uma porcentagem entre 0% e 100%, e é calculado com base na razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis.

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Veja também: Três erros mais cometidos no cálculo de probabilidade

O que é probabilidade?

Perceber o comportamento de eventos aleatórios é de grande importância para a nossa sociedade, e a área de estudo conhecida como probabilidade faz a análise desses eventos para entender quais são as chances reais de eles ocorrerem.

Há várias aplicações do estudo da probabilidade no cotidiano, um deles ocorre na pandemia de COVID-19, assim como pode ocorrer em outras possíveis futuras pandemias, nela ferramentas da estatística e da probabilidade são utilizadas para prever-se o comportamento da transmissão da doença nas próximas semanas. É também com base na probabilidade que se faz as estimativas para que os governadores e prefeitos tomem providências em relação ao afrouxamento ou endurecimento de medidas de isolamento social.

Para compreender o cálculo da probabilidade, antes, precisamos dominar alguns conceitos, como espaço amostral, evento e experimento aleatório.

Experimento aleatório

É o experimento que, ao ser realizado várias vezes nas mesmas condições, ainda sim, gera um resultado imprevisível. Estamos cercados de experimentos aleatórios no nosso cotidiano, por exemplo, ao realizarmos o lançamento de um dado comum, ainda que seja possível calcular a chance de cada um dos resultados ocorrer, é impossível termos, com precisão, o resultado do lançamento. Ao lançarmos o dado uma vez e obtermos, por exemplo, 1 como resultado, ao realizarmos um novo lançamento, respeitando as mesmas condições, o resultado continua sendo imprevisível, ele pode ou não ser 1 novamente.

Há vários outros exemplos de experimentos aleatórios nas outras áreas de conhecimento, como na biologia, mais especificamente no estudo da genética.

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Espaço amostral

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um evento aleatório. Conhecido também como conjunto universo, o espaço amostral pode ser representado pelo símbolo grego Ω (lê-se: ômega).

Em um experimento aleatório, conhecer o espaço amostral é essencial para que a gente consiga calcular a probabilidade desse evento acontecer. Por exemplo, em um lançamento de um dado normal, o espaço amostral será Ω: {1,2,3,4,5,6}, outra possibilidade é escolher uma vogal do alfabeto ao acaso, logo, nesse experimento aleatório, o espaço amostral será Ω:{a, e, i, o, u}.

Ponto amostral

É um elemento que pertence ao espaço amostral, ou seja, um entre os vários resultados possíveis do experimento aleatório. Por exemplo, ao lançar-se uma moeda para o alto, o resultado coroa é um ponto amostral assim como o resultado cara, a depender de qual dos lados aparece após a queda do objeto. Dessa forma, um ponto amostral de um experimento aleatório nada mais é do que um dos seus resultados possíveis.

Veja também: Qual a diferença entre probabilidade e possibilidade?

Evento

É qualquer subconjunto do espaço amostral. O evento pode ser representado utilizando-se notação de conjuntos, ou seja, por letras maiúscula. Geralmente o evento é o conjunto de resultados satisfatórios, ou seja, é um subconjunto do espaço amostral que contém os elementos com os quais se calcula a probabilidade

Exemplo:

Em um experimento aleatório, será sorteado ao acaso um estado brasileiro. Nesse experimento podemos tirar vários possíveis eventos, por exemplo, podemos pensar no resultado ser um estado do Sul, logo, meu evento pode ser representado pelo conjunto A: {Rio Grande do Sul, Paraná, Santa Catarina}. Outro possível evento é o conjunto de estados cujos nomes comecem com a letra s, nesse caso o evento será o conjunto B: {Santa Catarina, Sergipe, São Paulo}.

• Evento certo

É o que possui 100% de chance de ocorrer.

Exemplo:

Ao lançarmos um dado e observarmos, após a queda, sua face superior, um evento certo é que encontraremos nela um número menor que 7, logo, meu conjunto E será {1,2,3,4,5,6}, pois, ao lançar-se um dado, não existe outra opção a não ser um desses resultados, o que torna esse evento certo.

• Evento impossível

É aquele que possui 0% de chance de ocorrer, ou seja, que não ocorrerá.

Exemplo:

Utilizando-se do mesmo experimento de lançamento de um dado comum, um evento impossível será obter-se um número maior que 6.

Cálculo da probabilidade

Todos os conceitos vistos são essenciais para compreender-se o cálculo da probabilidade. Dado um experimento aleatório, calculamos a chance de um determinado evento ocorrer, essa probabilidade é dada pela razão entre o número de elementos do meu conjunto evento, ou seja, o número de casos favoráveis sobre o número de elementos no meu espaço amostral, ou seja, o número de casos possíveis.

P(A) → probabilidade do evento A

n(A) → número de elementos no conjunto A

n(Ω) → número de elementos no conjunto

Observações:

• A probabilidade pode ser representada como fração, como porcentagem ou como número decimal.
• A probabilidade é sempre um número decimal entre 0 e 1, ou uma porcentagem entre 0% e 100%.
• Se P(A) = 0 então A é um evento impossível.
• Se P(A) = 1 então A é um evento certo.

Exemplo:

Uma urna contém bolas brancas, vermelhas e verdes. Sabendo-se que nela há 12 bolas brancas, 8 vermelhas e que as 5 restantes são brancas, se uma bola for retirada ao acaso, qual é a probabilidade de que ela seja:

a) Branca

Nosso evento A é  → sair uma bola branca. Sabemos que n(A) = 12, ou seja, há 12 casos favoráveis.

Nosso espaço amostral possui um total de 12 + 8 + 5 = 25, então n(Ω) = 25.

Dessa forma, a probabilidade de o evento A ocorrer pode ser representada por:

b) Não branca

Nosso evento B é → sair uma bola não branca. Sabemos que n(B) = 13.

Como o espaço amostral continua o mesmo, então n(Ω) = 25.

Espaços amostrais equiprováveis

Em um espaço amostral, os eventos podem ser equiprováveis ou não, eles são considerados equiprováveis quando possuem a mesma chance de ocorrer.

Exemplo:

Considere mais uma vez o experimento do lançamento de um dado, sabemos que a probabilidade do seu lado superior ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 é de 1 em 6, logo, nesse caso, temos um espaço amostral equiprovável, ou seja, com pontos amostrais que possuem a mesma chance de ocorrer.

Exemplo:

Agora vamos considerar o seguinte experimento: serão lançados dois dados e a soma das faces superiores será anotada.

Vamos construir uma tabela para analisar os possíveis resultados:

Analisando os resultados possíveis (no espaço amostral há 36 possibilidades), perceba que a probabilidade de sair 7 nesse experimento é de 6 em 36 e que a probabilidade de sair 10 é de 3 em 36, logo, nesse caso, o espaço amostral não é equiprovável.

Acesse também: Probabilidade de dois eventos sucessivos ou simultâneos

Exercícios resolvidos

Questão 1 - (ENEM) Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de a senha ser um número de 1 a 20.

a) 1/100

b) 19/100

c) 20/100

d) 21/100

e) 80/100

Resolução

Alternativa C.

Seja A o evento, para sair um número de 1 a 20, então n(A) = 20.

Por outro lado, no espaço amostral há 100 bolas, então n(Ω) = 100.

Assim, a probabilidade do evento A ocorrer será:

P(A) = n(A)/n(Ω)

P(A) = 20/100

Questão 2 - (Fundatec – 2019) Ao lançar uma moeda não viciada três vezes consecutivas, a probabilidade de sair pelo menos duas caras é de:

a) 10%

b) 20%

c) 30%

d) 40%

e) 50%

Resolução

Alternativa E.

A cada lançamento da moeda, há duas opções, cara ou coroa. Como a moeda será lançada três vezes, há um total de 2³ resultados possíveis, logo, n(Ω) = 8.

Analisando os resultados possíveis, queremos os que possuem pelo menos duas caras.

c → cara

k → coroa

Ω: {(c, c, c); (c, c, k); (c, k, c); (k, c, c); (k, k, k); (k, k, c); (k, c, k); (c, k, k)}

Seja A o evento, para sair pelo menos duas caras, os casos favoráveis, ou seja, os que possuem pelo menos duas caras, são:

A: {(c, c, c); (c, c, k); (c, k, c); (k, c, c)}, então n(A) = 4.

Assim P(A) = n(A)/ n(Ω)

P(A) = 4/8 = 0,5 ou 50%

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira

Qual a probabilidade no lançamento de dois dados obter soma igual a 9?

Qual a probabilidade de cair 7 em dois dados?

Qual a probabilidade de 2 dados caírem iguais?

Quantas possibilidades tem em 2 dados?