Entre os elementos de um polígono, estão os lados, vértices, ângulos internos e ângulos externos. Quando o polígono é convexo, também podemos pensar nas suas diagonais e criar propriedades como a soma de seus ângulos internos e a soma de seus ângulos externos. Essa última propriedade deve sempre ser igual a 360°, em todo polígono convexo. Isso é resultado da definição dos ângulos externos, aliada a algumas propriedades envolvendo ângulos que serão discutidas mais adiante. Show
A soma dos ângulos internos varia de polígono a polígono, dependendo de seu número de lados. Assim, desde que convexos, os polígonos: a) Que possuem três lados têm soma dos ângulos internos igual a 180°; b) Que possuem quatro lados têm a soma dos ângulos internos igual a 360°; c) Que possuem n lados têm a soma dos ângulos internos igual a (n – 2)180. Definição de ângulo externo Um ângulo externo é a abertura entre o prolongamento de um lado de um polígono e o lado adjacente a ele. Observe, por exemplo, os ângulos externos da figura a seguir: Os ângulos assinalados com as letras gregas α, β, γ, δ e ε são externos, pois representam justamente a abertura entre um lado do polígono e o prolongamento do lado adjacente a ele. Propriedades relacionando ângulos externos e ângulos internos Perceba que sempre existe um ângulo interno que compartilha um lado de um polígono com um ângulo externo. Observe também que esses dois ângulos estão sempre sobre a mesma reta, já que o ângulo externo depende do prolongamento do lado do polígono. Dessa forma, garantimos que a soma de um ângulo interno com o ângulo externo adjacente a ele é igual a 180°. Em outras palavras: Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Um ângulo interno e o ângulo externo adjacente a ele sempre são suplementares.
No pentágono regular acima, temos um ângulo interno e um externo. Como o pentágono é regular, cada um de seus ângulos internos mede 108°. Assim sendo, cada um de seus ângulos externos medirá 72°. Observe que existem exatos cinco ângulos externos nesse polígono, e que todos medem 72° porque o polígono é regular. 5·72 = 360° Demonstração Independentemente de qual seja o polígono convexo e sua quantidade de lados, ou do fato de todos os lados possuírem medidas diferentes, cada ângulo interno (Si), somado ao seu ângulo externo adjacente (Ai), deve ter como resultado 180°: Si + Ai = 180° Seja S a soma de todos os ângulos internos e A a soma de todos os ângulos externos, em um polígono de n lados, temos também n ângulos internos e n ângulos externos. Assim: S + A = 180·n A soma dos ângulos internos nós já conhecemos, pois ela é obtida pela expressão: S = (n – 2)180. Substituindo S por essa expressão na equação anterior, temos: S + A = 180n (n – 2)180 + A = 180n 180n – 360 + A = 180n Como queremos descobrir a soma dos ângulos externos de um polígono, isolaremos a incógnita A no primeiro membro: 180n – 360 + A = 180n A = 180n + 360 – 180n A = 360° Portanto, fica demonstrado que a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°. Polígonos são figuras geométricas planas e fechadas formadas por segmentos de reta. Os polígonos dividem-se em dois grupos, os convexos e os não convexos. Quando um polígono possui todos os seus lados iguais e, consequentemente, todos os ângulos internos iguais, trata-se de um polígono regular. Os polígonos regulares podem ser nomeados de acordo com a quantidade de seus lados. Veja também: Construção de polígonos circunscritos Tópicos deste artigo
Elementos de um polígonoPolígono é a figura plana e fechada formada pela união de um número finito de segmentos de retas. Assim, considere um polígono qualquer: Os pontos A, B, C, D, E, F, G e H são os vértices do polígono e são formados pelo encontros dos segmentos AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH e HA, chamados lados do polígono. Os segmentos AF, AE, AD e BG são as diagonais do polígono. (Perceba que esses são alguns exemplos de diagonais, no polígono anterior temos mais dessas.) Diagonais são segmentos de retas que “ligam” os vértices do polígono. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Nomenclatura de um polígonoPodemos nomear os polígonos de acordo com seu número de lados. Veja na tabela a seguir o nome dos principais polígonos.
Número de lados + gono Por exemplo, quando temos o polígono de cinco lados, automaticamente nos lembramos do prefixo penta mais o sufixo gono: pentágono. ExemploDetermine o nome do polígono a seguir: Classificação dos polígonosOs polígonos são classificados pela medida de seus ângulos e lados. Um polígono é dito equilátero quando possui lados congruentes, ou seja, todos ladosiguais; e será dito equiângulo quando possuir ângulos congruentes, isto é, todos ângulosiguais. Caso um polígono seja equilátero e equiângulo, então ele será um polígono regular. Em todo polígono regular, o centro tem a mesma distância dos lados, ou seja, é equidistante dos lados. O centro do polígono é também o centro da circunferência inscrita no polígono, ou seja, a circunferência que está “dentro” da circunferência. Leia mais: Semelhança de polígonos: veja quais são as condições Soma dos ângulos internos de um polígonoSeja ai um ângulo interno de um polígono regular de n lados, representaremos a soma desses ângulos internos por Si. Assim, a soma dos ângulos internos é dada por: Si = (n - 2) · 180° Para calcular o valor de cada ângulo interno, basta pegar o valor da soma dos ângulos internos e dividir pelo número de lados, ou seja: ai = Si Exemplo 1Determine a soma dos ângulos internos e, em seguida, a medida de cada ângulo interno de um icoságono. Sabemos que um icoságono possui vinte lados, logo, n = 20. Substituindo nas relações, temos: Si = (n - 2) · 180° Si = (20 - 2) · 180° Si = 18 · 180° Si = 3240° Agora, para determinar o valor de cada ângulo interno, basta dividir o valor encontrado pelo número de lados: ai = 3240° ai = 162° Exemplo 2A soma dos ângulos internos de um polígono regular é 720°, determine o polígono. Substituindo a informação do enunciado na fórmula, temos: 720° = (n - 2) · 180° 720° = 180n – 360° 180n = 720° + 360° 180n = 1080° n = 1080° n = 6 lados Assim, o polígono procurado é o hexágono. Soma dos ângulos externos de um polígonoA soma dos ângulosexternos de um polígono é sempre igual a 360°. Se = 360° ae = Se ae = 360° Diagonais dos polígonosConsidere um polígono de n lados. Para determinar o número de diagonais (d), utilizamos a seguinte relação: d = n · (n - 3) ExemploDetermine o número de diagonais de um pentágono e represente-as graficamente. Sabemos que um pentágono possui cinco lados, assim, n = 5. Substituindo na expressão, temos que: d = 5 · (5 - 3) d = 5 · 2 d = 5 Área e perímetro dos polígonosO perímetro de polígonos é definido pela soma de todos os lados. A área de um polígono é calculada a partir da divisão do polígono em figuras cujo cálculo da área é mais fácil, como o triângulo e o quadrado. AΔ = base · altura Aquadrado = base · altura ExemploDetermine uma expressão matemática que represente a área de um hexágono regular. Solução: Inicialmente, considere um hexágono regular e todos os segmentos de retas que liguem o centro do polígono a cada vértice. Assim: Perceba que, devido ao fato do hexágono ser regular, ao dividi-lo, encontramos seis triângulos equiláteros, logo, a área do hexágono é seis vezes a área do triângulo equilátero, ou seja: Ahexágono = 6 · AΔ Ahexágono = 6 · l2 · √3 Ahexágono
= 3 · l2 · √3 Ahexágono = 3 · l2·√3 Leia também: Área do triângulo equilátero Exercícios resolvidosQuestão 1 – (Enem) Uma piscina tem o formato de um polígono regular cuja medida do ângulo interno é três vezes e meia a medida do ângulo externo. Qual é a soma dos ângulos internos do polígono cuja forma é igual à dessa piscina? a) 1800° b) 1620° c) 1440° d) 1260° e) 1080° Solução Como não sabemos a quantidade de lados do polígono, vamos imaginar só um dos vértices desse polígono. Da imagem podemos ver que: ai + ae = 180° (I) Do enunciado temos que: ai = 3,5 · ae (II) Substituindo a equação (II) na equação (I), teremos que: 3,5 · ae + ae = 180° 4,5 · ae = 180° ae = 180° ae = 40° No entanto sabemos que um ângulo interno é a divisão de 360° pelo número de lados do polígono. Assim: ae = 360° 40° = 360° 40n = 360° n = 360° n = 9 Logo, a soma dos ângulos internos da piscina é: Si = (n - 2) · 180° Si = (9 - 2) · 180° Si = 7 · 180° Si = 1260° Por Robson Luiz Como se chama o polígono regular que possui ângulo interno de 150?Então, se os ângulos internos de um polígono regular medem 150∘, ele tem 12 lados (dodecágono).
Qual o nome do polígono regular onde cada ângulo interno mede 120?Em um hexágono regular, cada ângulo interno mede 120°. A soma dos ângulos externos de um hexágono regular é sempre 360°.
Qual é a medida do ângulo externo de um polígono regular cujo ângulo interno mede 150?Resposta. O ângulo interno + o ângulo externo sempre resulta em 180º, assim se o ângulo interno mede 150º, o ângulo externo mede 30.
Qual é o polígono regular cuja medida de seu ângulo interno é 144?2) Qual é o polígono regular cuja medida do ângulo interno é igual a 144°? = 10 Resposta: O polígono tem 10 lados, é um decágono.
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