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Pré-visualização | Página 1 de 2Lados Polígono É toda linha poligonal fechada simples. Lado Internos Externos A B C D Vértice Ai Ae Diagonal Suplementares Ae Ai + = 180° Vértices Ângulos Diagonais Elementos MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer 1 Relação entre os ângulos interno e externo de um polígono i1 i2 i3 i4 e1 e2 e3 e4 i1 + e1 = 180° i2 + e2 = 180° i3 + e3 = 180° i4 + e4 = 180° A B C D Em um mesmo vértice, os ângulos interno e externo do polígono são sempre adjacentes e suplementares. Vértice A Vértice B Vértice C Vértice D MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer 2 Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Vamos demonstrar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. a b n A B C r Traçamos uma reta r, paralela ao lado BC, passando por A. m c Essa paralela irá formar com os lados AB e AC dois ângulos cujas medidas indicamos por m e n, respectivamente. MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer 3 Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Vamos demonstrar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. a b n A B C r m c Como r // BC, temos m = b e n = c (alternos internos) Como m + a + n = 180° b + a + c = 180° Traçamos uma reta r, paralela ao lado BC, passando por A. Essa paralela irá formar com os lados AB e AC dois ângulos cujas medidas indicamos por m e n, respectivamente. MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer 4 I II Sabendo que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°... Vamos calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero qualquer. Para isso, traçamos uma das diagonais do quadrilátero. Essa diagonal decompõe o quadrilátero em dois triângulos. A soma das medidas dos ângulos internos do triângulo I é 180°; e a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo II é 180°. Portanto, podemos concluir que a soma das medidas dos ângulos internos do quadrilátero é igual a 2 ∙ 180° = 360°. MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer 5 Sabendo que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180° ... Vamos calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um pentágono qualquer. Para isso, traçamos duas das diagonais do pentágono que partem do mesmo vértice. A soma das medidas dos ângulos internos do pentágono será igual à soma das medidas dos ângulos internos dos triângulos I, II, e III, ou seja, 3 ∙ 180° = 540°. I II III MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer 6 Sabendo que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180° ... ...Vamos generalizar: S3 = 180° ∙ 1 S4 = 180° ∙ 2 (3 – 2) (4 – 2) Triângulos Quadriláteros MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer 7 Sabendo que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º ... ...Vamos generalizar: S5 = 180° ∙ 3 S6 = 180° ∙ 4 (5 – 2) (6 – 2) Pentágono Hexágono MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer 8 Sabendo que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180° ... ...Vamos generalizar: Si = 180° ∙ (n – 2) Generalizando: A soma Si das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer de n lados é dada por: MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer 9 Observação: Num polígono regular, todos os ângulos internos ai são congruentes entre si. Portanto, para encontrar a medida de cada ângulo interno, basta dividir a soma das medidas dos ângulos internos Si pelo número n de lados. ai ai = 180° ∙ (n – 2) n MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer 10 Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono qualquer Vamos analisar, abaixo, a figura que mostra os ângulos internos e externos de um triângulo qualquer. A B C i1 i2 i3 e1 e2 e3 i1 + e1 = 180° i2 + e2 = 180° i3 + e3 = 180° Note que, em cada vértice, a soma da medida do ângulo interno com a medida do ângulo externo é 180°. + Se = 180° ∙ 3 Si + Se = 540° 180° Se = 360° MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer 11 i1 i2 i3 i4 e1 e2 e3 e4 i1 + e1 = 180° i2 + e2 = 180° i3 + e3 = 180° i4 + e4 = 180° A B C D Vértice A Vértice B Vértice C Vértice D Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono qualquer Vamos analisar, abaixo, a figura que mostra os ângulos internos e externos de um quadrilátero qualquer. + Se = 180° ∙ 4 Si + Se = 720° 360° Se = 360° MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer 12 Soma dos ângulos externos de um polígono convexo i1 i2 i3 i4 e1 e2 e3 e4 i1 + e1 = 180° i2 + e2 = 180° i3 + e3 = 180° i4 + e4 = 180° in + en = 180° Si + Se = 180° ∙ n Se = 180° ∙ n – Si Se = 180° ∙ n – 180° ∙ (n – 2) Se = 180° ∙ n – 180° ∙ n + 360° Se = 360° A soma Se das medidas dos ângulos externos de um polígono qualquer é 360º. Então: MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer 13 Observação: Num polígono regular, todos os ângulos externos ae são congruentes entre si. Portanto, para encontrar a medida de cada ângulo externo, basta dividir a soma das medidas dos ângulos externos Se pelo número n de lados. ae ae = 360° n MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer 14 Os polígonos nos mosaicos Combinando figuras geométricas, podemos criar mosaicos. Veja: A regularidade de formas encontradas na natureza tem chamado a atenção do ser humano há muitos séculos. Ao observar e estudar essas formas, o homem tem aprendido muitas coisas. Com as abelhas, por exemplo, ele compreendeu que o formato dos favos de mel é muito bom para guardar objetos com grande economia de espaço. MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer Imagem: Chris Severn / Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported 15 Os polígonos nos mosaicos Exemplos da aplicação do formato das colmeias são blocos de calçamento e suportes de garrafas para o armazenamento de bebidas alcoólicas em adegas. MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer Imagem: (a) KKK2352 / Rua / Public Domain; (b) Che / Adega / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.5 Generic. 16 Construindo um mosaico Observe a figura: Ela é formada por hexágonos regulares que se encaixam sem se sobrepor ou deixar vãos. Todos os hexágonos são regulares, isto é, possuem lados e ângulos de mesma medida, o que significa que  = B̂ = Ĉ. Além disso, a soma desses três ângulos é igual a 360°, ou seja, eles formam um ângulo de uma volta completa:  + B̂ + Ĉ = 360°. MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer Imagem: (a) Jackhmo / Hexágonos / Public Domain Imagem: (b) HB / 4 Hexágonos / Public Domain  ^ B ^ C 17 Construindo um mosaico Já usando só pentágonos ... A figura é formada por pentágonos regulares que se encaixam sem se sobrepor, mas deixam um vão de 36°. Haverá, então, sobra quando tentarmos encaixar os pentágonos regulares. Logo, não é possível fazer revestimentos usando apenas ladrilhos com a forma de pentágonos regulares, como se pode ver na figura acima. MATEMÁTICA, 8º Ano do Ensino Fundamental Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo Qualquer 180° 180° 180° 36° 18 Vamos exercitar! 1) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um dodecágono? Página12 Qual é o polígono cuja soma das medidas dos ângulos externos é igual a 360 graus?A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é igual a 360°.
Quantos lados tem um polígono cuja soma das medidas dos ângulos externos é 360 graus?Resposta Questão 6
A soma dos ângulos externos de um polígono é sempre igual a 360º, então, para descobrir o número de lados, faremos 360 : 20 = 18.
Qual o polígono regular cuja soma das medidas dos ângulos internos é 360?O polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é 360º é o retângulo; O valor do ângulo x no quadrilátero abaixo é igual a 130º.
Porque a soma dos ângulos externos de um polígono é 360?A soma dos ângulos externos de um polígono convexo sempre deve ser igual a 360°. Esse resultado não depende da quantidade e da medida de lados e ângulos desse figura. Entre os elementos de um polígono, estão os lados, vértices, ângulos internos e ângulos externos.
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Sabendo que a soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono regular e 360
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